Formule de Stirling

Partie

On considère la suite \((s_n)\) définie par \(s_n=\ln\left(\frac{n!e^n}{n^n\sqrt{n}}\right)\) \((n\geq 1)\).

Question

Montrer en considérant la série de terme général \(u_n=s_n-s_{n-1}\) \((n\geq 2)\) et \(u_1=s_1=1\),

que la suite \((s_n)\) est convergente ; soit \(s\) sa limite.

Solution détaillée

Pour \(n\geq2\), \(s_n\) est la somme partielle de la série de terme général

\(u_n=s_n-s_{n-1}=\ln\left(\frac{ne(n-1)^{n-1}\sqrt{n-1}}{n^n\sqrt{n}}\right)=\ln\left(e\left(1-\frac1n\right)^{n-\frac12}\right)=1+\left(n-\frac 12\right)\ln\left(1-\frac1n\right)\).

On a donc, quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(u_n=1-\left(n-\frac 12\right)\left(\frac1n+\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+\frac{\epsilon(n)}{n^3}\right)\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\epsilon(n)=0\). On en déduit \(u_n=-\frac{1}{12n^2}+\frac{\epsilon(n)}{n^2}\). La série \(\sum u_n\), à termes négatifs à partir d'un certain rang, est convergente.

Question

Montrer , en utilisant la formule de Wallis,

\(\sqrt{\pi}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!}\),

que l'on a : \(e^s=\sqrt{2\pi}\).

En déduire la formule de Stirling

\(n!=n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}(1+\epsilon_n)\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\epsilon_n=0\)

Solution détaillée

Si la suite \((s_n)\) a pour limite \(s\) alors la suite \((v_n)\)\(v_n=\frac{n!e^n}{n^n\sqrt{n}}\), a pour limite \(e^S\).

Le terme général de la suite \(\left(\frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!}\right)\) qui intervient dans la formule de Wallis s'écrit sous la forme

\(\frac{v^2_n}{\sqrt{2}v_{2n}}\). On a donc les égalités :

\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\frac{v^2_n}{\sqrt{2}v_{2n}}=\sqrt{\pi}=\frac{e^s}{\sqrt{2}}\), d'où \(e^s=\sqrt{2\pi}\)

et \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\frac{n!e^n}{n^n\sqrt{2\pi n}}=1\).

Cette formule donne une idée du comportement de \(n!\) quand \(n\) augmente indéfiniment.

( Attention il s'agit d'une équivalence et non d'une valeur approchée.)