Exercice 7

Partie

Soit \((z_n)\) une suite de nombres complexes, vérifiant, pour tout \(n\), \(Re(z_n)\geq 0\). On suppose que les séries \(\sum z_n\) et \(\sum z_n^2\) sont convergentes.

Question

Montrer que la série \(\sum |z_n|^2\) est convergente.

Solution détaillée

On note, pour tout entier \(n\), \(z_n=x_n+iy_n\) avec \(x_n\in R, y_n\in R\). On a \(|z_n|^2=x^2_n+y_n^2\).

Convergence de la série \(\sum x_n^2\)

On a \(|z_n|^2=x_n^2+y_n^2\). La série \(\sum z_n\) est convergente si et seulement si, les séries

\(\sum x_n\) et \(\sum y_n\) sont convergentes. Ainsi la série à termes positifs \(\sum x_n\)

est convergente, on a donc \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}x_n=0\) et, à partir d'un certain rang \(N\),

\(0\leq x_n<1\). Donc :\(\forall n\geq N,0\leq x_n^2<x_n\). Par application du théorème de comparaison,

la série \(\sum x_n^2\)est donc convergente par application du théorème de comparaison.

Convergence de la série \(\sum y_n^2\)

La série \(\sum z_n^2\) étant convergente, l'égalité \(z_n^2=x_n^2-y_n^2+2ix_ny_n\) entraîne alors en

particulier la convergence de la série des parties réelles \(\sum(x_n^2-y_n^2)\)et donc de la série \(\sum y_n^2\).

Conclusion

Cela implique que la série \(\sum |z_n^2|\) est convergente.

La recherche d'un exemple où la série \(\sum |z_n^2|\) est divergente, alors que les séries \(\sum z_n\) et \(\sum z_n^2\)

sont convergentes, peut s'orienter en prenant pour série \(\sum |z_n^2|\) la série harmonique, on peut

prendre par exemple \(z_n=\frac{e^{i\theta_n}}{\sqrt{n}}\) \((n\geq1)\) d'où \(z_n^2=\frac{e^{2i\theta_n}}{n}\), plus précisément

\(z_n=\frac{e^{in\theta }}{\sqrt{n}}\) avec \(\theta\in]0,\pi[\).

Les séries \(\sum z_n\) et \(\sum z_n^2\) sont convergentes, d'après le théorème d'Abel. La série \(\sum |z_n^2|\) est la série harmonique donc divergente.

Question

Donner un exemple montrant que le résultat est faux si on omet l'hypothèse \(Re(z_n)\geq 0\).

Aide simple

Trouver par exemple une série telle que la série \(\sum |z_n|^2\) soit la série harmonique.

Solution détaillée

La recherche d'un exemple où la série \(\sum |z_n^2|\) est divergente, alors que les séries \(\sum z_n\) et \(\sum z_n^2\) sont convergentes, peut s'orienter en prenant pour série \(\sum |z_n^2|\) la série harmonique. On peut prendre par exemple \(z_n=\frac{e^{i\theta_n}}{\sqrt{n}}\) \((n\geq1)\), d'où \(z_n^2=\frac{e^{2i\theta_n}}{n}\), plus précisément

\(z_n=\frac{e^{in\theta }}{\sqrt{n}}\) avec \(\theta\in ]0,\pi[\).

Les séries \(\sum z_n\) et \(\sum z_n^2\) sont convergentes, d'après le théorème d'Abel (car \(2\theta \notin 2\pi Z\)et \(\theta\notin2\pi Z\)).

La série \(\sum |z_n^2|\) est divergente car c'est la série harmonique.