Exercice 2
Partie
Question
Soit \((u_n)\) une suite réelle vérifiant : \(\forall n,u_n>-1.\) Montrer que la série \(\sum \ln(1+u_n)\) est absolument convergente si et seulement si la série \(\sum u_n\) est absolument convergente.
Solution détaillée
Si le terme général \(u_n\) tend vers 0, on a alors \(\left|\ln(1+u_n)\right| \sim \left|u_n\right| (n\rightarrow+\infty).\) On a donc l'équivalence :
la série \(\sum \ln(1+u_n)\) est absolument convergente si, et seulement si, la série \(\sum u_n\) est absolument convergente.
Si le terme général \(u_n\) ne tend pas vers 0, alors \(v_n\ln(1+u_n)\) ne tend pas vers 0 et les deux séries sont divergentes (car \(u_n=e^{v_n}-1).\)
On remarque qu'il s'agit d'absolue convergence, on ne peut rien dire dans le cas de la convergence simple.