Constante d'Euler
Partie
On considère la suite \((s_n)\) définie, pour tout entier \(n\geq 1\), par \(s_n=1+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1n-\ln n\).
Question
Montrer, en considérant la série de terme général \(u_n\) définie par :
\(u_n=s_n-s_{n-1}\) \((n\geq2)\) et \(u_1=s_1=1'\)
que la suite \((s_n)\) est convergente.
Solution détaillée
Pour \(n\geq2\), \(s_n\) est la somme partielle de la série de terme général \(u_n=\frac1n-\ln (n)+\ln(n-1)\).
On a \(u_n=\frac1n+\ln\left(1-\frac1n\right)=\frac1n-\frac1n-\frac{1}{2n^2}+\frac{\epsilon(n)}{n^2}\) et donc \(u_n\sim -\frac{1}{2n^2}\).
La série de terme général \(u_n\), qui est à termes tous négatifs, est convergente et la suite \((s_n)\) a donc une limite. On note
\(c=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\left(1+\frac12+\ldots+\frac1n-\ln(n)\right)\).
Question
Soit \(c\) sa somme. Montrer qu'on a :
\(0\leq c\leq 1\).
Aide simple
Méthode classique de comparaison des intégrales et des séries.
Solution détaillée
En additionnant, membre à membre les inégalités classiques, \(\forall k\geq2\), \(\frac1k\leq\int_{k-1}^k\frac{dt}{t}\leq \frac{1}{k-1}\),
on obtient \(\frac12+\frac 13+\ldots\frac1n\leq \int_1^n\frac{dt}{t}=\ln(n)\leq 1+\frac12+\ldots\frac{1}{n-1}\), d'où \(\frac1n\leq s_n\leq 1\),
et donc, compte tenu du prolongement des inégalités, \(0\leq c\leq 1\).
En fait une valeur approchée de la constante d'Euler est 0,57721, on ignore la nature arithmétique de ce nombre : est-il rationnel, algébrique, transcendant ? Patience il a fallu plus de trois siècles pour venir à bout du théorème de Fermat !