Exercice 3

Partie

Question

On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) à termes positifs ou nuls, telles que les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) soient convergentes.

Étudier les séries de terme général \(w_n=\sqrt{u_n v_n}\) et \(t_n=\frac{1}{n}\sqrt{u_n}.\)

Aide simple

On montre l'inégalité \(2\left|ab\right| \leq a^2+b^2\) et on l'utilise pour traiter le problème.

Solution détaillée

On a, pour tout entier \(n,\) \((\sqrt{u_n}- \sqrt{v_n})^2=u_n+v_n-2\sqrt{u_n v_n}\geq 0\) d'où \(2\sqrt{u_n v_n}\leq u_n+v_n.\)

L'application du théorème de comparaison donne la convergence de la série de terme général \(\sqrt{u_n v_n}.\)

En prenant \(v_n=\frac{1}{n^2} (n\geq 1),\) et en appliquant le résultat précédent on obtient la convergence de la série de terme général \(\frac{\sqrt{u_n}}{n}.\)