Surface et volume élémentaire (en cylindrique)
Durée : 4 mn
Note maximale : 4
Question
Le vecteur \(\vec{OM}\) détermine la position d'un point \(M\) de l'espace par rapport à un repère rectangulaire direct \((O : x, y, z)\).
Le vecteur détermine le déplacement d'un mobile ponctuel entre les points \(M\) et \(M'\).
Exprimez en coordonnées cylindriques (\(\rho\), \(\varphi\), \(z\)) la mesure de chaque élément de surface engendré par \(M\) lorsqu'on donne un accroissement infinitésimal à deux des coordonnées, l'autre restant constante.
Exprimez la mesure de l'élément de volume engendré par \(M\) lorsqu'on donne un accroissement infinitésimal aux trois coordonnées.
Solution
Lorsque \(\varphi\) est fixé, les accroissements \(dr\) et \(dz\) de \(\rho\) et \(z\) engendrent un rectangle élémentaire de surface \(dS_\varphi = dz d\rho\).
(1 point)
On a de la même façon :
\(dS_z = d\rho\rho d\varphi\) et \(dSr = r d\varphi dz\)
(2 points)
Les accroissements \(d\rho\), \(d\varphi\) et \(dz\) engendrent un parallélépipède rectangle élémentaire de volume \(dV = d\rho r d\varphi dz\).
(1 point)