Surface et volume élémentaire (en sphérique)
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
Le vecteur \(\vec{OM}\) détermine la position d'un point \(M\) de l'espace par rapport à un repère rectangulaire direct \((O : x, y, z)\).
Le vecteur \(\vec{MM}'\) détermine le déplacement d'un mobile ponctuel entre les points \(M\) et \(M'\).
Exprimez en coordonnées sphériques \((\rho, \theta, \varphi)\) la mesure de chaque élément de surface engendré par \(M\) lorsqu'on donne un accroissement infinitésimal à deux des coordonnées, l'autre restant constante.
Exprimez la mesure de l'élément de volume engendré par \(M\) lorsqu'on donne un accroissement infinitésimal aux trois coordonnées.
Solution
Lorsque \(\varphi\) est fixé, les accroissements \(dr\) et \(d\theta\) de \(r\) et \(\theta\) engendrent un rectangle élémentaire de surface \(dS_\varphi =dr r d\theta\).
(1 point)
On a de la même façon :
\(dS_r =r d\theta r \sin\theta d\varphi\) et \(dS_\theta =r\sin\theta d\varphi dr\)
(2 points)
Les accroissements \(dr\), \(d\theta\) et \(d\varphi\) engendrent un parallélépipède rectangle de volume \(dV = dr r d\theta r \sin\theta d\varphi\).
(1 point)