Parallèlépipède rectangle
Durée : 5 mn
Note maximale : 5
Question
Un parallèlépipède rectangle a des côtés de longueur \(a\), \(b\) et \(c\).
Calculez l'angle formé par les droites passant par les sommets \(AB\) et \(AC\).
Calculez la valeur numérique de cet angle dans le cas du cube de côté \(a\).
Solution
Si on choisit un repère formé par les axes orthogonaux passant par les côtés issus du sommet \(A\), comme il est indiqué sur la figure, les composantes scalaires du vecteur \(\vec{AB}\) sont \((a, b, c)\) et celles du vecteur \(\vec{AC}\) sont \((a, b, 0)\).
(1 point)
Les normes de ces deux vecteurs sont \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) et \(\sqrt{a^2+b^2}\).
(1 point)
Leur produit scalaire \(\vec{AB}.\vec{AC}=a^2+b^2\).
(1 point)
On a : \(\cos(\vec{AB}.\vec{AC})=\frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{(AB).(AC)}=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)}{(a^2+b^2+c^2)}}\)
(1 point)
Dans le cas d'un cube, \(a=b=c\) et \(\cos(\vec{AB}.\vec{AC})=\sqrt{\frac{2}{3}}\).
On peut obtenir directement ce résultat en utilisant la géométrie :
Dans le triangle rectangle \(AIC\), on a \(AC^2 = AI^2 + IC^2 = 2a^2\).
Dans le triangle rectangle \(ACB\), on a \(AB^2 = AC^2 + CB^2 = 3a^2\).
\(\cos(\vec{AB}.\vec{AC})=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
(1 point)