Projection d'un déplacement

Durée : 6 mn

Note maximale : 6

Question

Par rapport à un repère orthonormé \((O :\vec{u_x},\vec{u_y},\vec{u_z})\) le point matériel \(M\) est repéré par ses coordonnées sphériques \(r\), \(\theta\) et \(\varphi\).

Quelle est l'amplitude de la projection du déplacement \(OM\) sur un axe \(D\) portant le vecteur unitaire \(\vec{u_\Delta}\) tel que :

\(\vec{u_\Delta}=\vec{\delta_x}\vec{u_x}+\vec{\delta_y}\vec{u_y}+\vec{\delta_z}\vec{u_z}\)

Vérifiez le résultat obtenu.

Solution

On a \(\vec{OM}=r(\sin\theta\cos\varphi\vec{u_x}+\sin\theta\sin\varphi\vec{u_y}+\cos\theta)=r\vec{u_r}\)

(2 points)

Si on appelle \(H\) la projection de \(M\) sur l'axe \(\Delta\) , on a \(\vec{OM}=r\vec{u_z}\) par définition.

(1 point)

Donc \(OH=r\vec{u_r}.\vec{u_\Delta}=r(\delta_x\sin\theta\cos\varphi+\delta_y\sin\theta\sin\varphi+\delta_z\cos\theta)\).

On vérifie le résultat en considérant des cas particuliers :

par exemple \(\vec{OM}=r\vec{u_z}\quad(\theta=0)\) perpendiculaire au plan \(Oxy\) et \(\vec{u_\Delta}=\delta_x\vec{u_x}+\delta_y\vec{u_y}\quad(\delta_z=0)\) direction quelconque dans le plan \(Oxy\).

(2 points)

On a bien \(OH=0\).

(1 point)