Changement de repère
Durée : 7 mn
Note maximale : 7
Question
Un point matériel \(M\) est repéré dans l'espace par rapport au repère orthonormé \((O:\vec{u_x},\vec{u_y},\vec{u_z})\).
Les composantes scalaires de \(\vec{OM}\) sont \((Mx, My, Mz)\).
Quelles sont les composantes scalaires de \(\vec{OM} :M_1,M_2,M_3\), par rapport au repère orthonormé \((M:\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})\)
tel que \(\displaystyle{\vec{u_1}=\frac{\vec{OM}}{OM}}\)?
Solution
On a \(\vec{OM}=M_x\vec{u_x}+M_y\vec{u_y}+M_z\vec{u_z}=M_1\vec{u_1}+M_2\vec{u_2}+M_3\vec{u_3}\)
(1 point)
D'autre part, les composantes scalaires \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) sont, lorsque le repère est orthonormé :
\(M_1=\vec{OM}.\vec{u_1}\quad M_2=\vec{OM}.\vec{u_2}\quad M_3=\vec{OM}.\vec{u_3}\)
(2 points)
On obtient successivement :
\(M_1=\vec{OM}.\vec{u_1}=\vec{OM}\left(\frac{\vec{OM}}{OM}\right)=OM=\sqrt{(M_1^2+M_2^2+M_3^2)}\)
(2 points)
\(M_2=\vec{OM}.\vec{u_2}=0\) de même pour \(M_3\).
(2 points)