Surface d'un parallélogramme

Durée : 6 mn

Note maximale : 6

Question

Deux vecteurs \(\vec{OA}\) et \(\vec{OB}\) définissent les côtés d'un parallélogramme.

Vérifiez que sa surface est égale à la norme du produit vectoriel \(\vec{OA}\wedge\vec{OB}\)

Solution

On choisit la direction de \(\vec{OA}\) comme axe \(Ox\) et le plan contenant \(\vec{OA}\) et \(\vec{OB}\) comme plan \(Oxy\) : de la sorte, \(\vec{OA}\wedge\vec{OB}\)est dirigé suivant l'axe \(Oz\).

(1 point)

On sait que \(|\vec{OA}\wedge\vec{OB}|=ab|\sin\varphi|\)

(1 point)

qu'on peut écrire \(a(b|\sin\varphi|)\), ce qui est l'aire du rectangle \(OAIH\).

(2 points)

C'est aussi l'aire du parallélogramme \(OACB\) car les triangles \(OBH\) et \(ACI\) sont égaux et leurs aires sont égales.

(2 points)