Système 3 condensateurs - 2 selfs
Partie
Question
Dans ce système couplé, les selfs ont le même coefficient d'inductance \(L\) et les condensateurs ont la même capacité \(C\).
Écrire les équations différentielles reliant les courants dans chacune des branches et leurs dérivées.
Mettre ce système sous forme matricielle et le résoudre.
Aide simple
La mise en équation de ce système électrique est analogue à celle du système 2 masses - 3 ressorts.
Repérer les variables analogues de ces deux systèmes.
Rappel de cours
Voir la page Mise en équations
Solution détaillée
Système 3 Condensateurs, 2 selfs.
Avec les sens choisis sur le schéma :
\(V_B-V_A=V_{\textrm{sortie}}-V_{\textrm{entr\'ee}}=-L\frac{di^1}{dt}\)
\(V_D-V_A=V_{\textrm{sortie}}-V_{\textrm{entr\'ee}}=-L\frac{di^2}{dt}\)
On a aussi les relations :
\((1) ~ i^1=-(q^1)'\)
\((2) ~ i^2=-(q^2)'\)
\((3) ~ i^3=-(q^3)'\)
\((4) ~ i^3=-(i^1+i^2)\) (loi des noeuds)
On pose \(V = V_C - V_A\)
\(\Rightarrow V=\frac{q^1}{C}-L\frac{di^1}{dt}=\frac{q^3}{C}=\frac{q^2}{C}-L\frac{di^2}{dt}\)
On dérive cette relation pour n'avoir plus que des courants (en utilisant les relations (1), (2) et (3))
\(\Rightarrow V'=\frac{(q^1)'}{C}-L(i^1)''=\frac{(q^3)'}{C}=\frac{(q^2)'}{C}-L(i^1)''\Rightarrow -\frac{i^1}{C}-L(i^1)''=-\frac{i^3}{C}=-\frac{i^2}{C}-L(i^2)''\)
Avec la relation \((4)\Rightarrow -\frac{i^1}{C}-L(i^1)''=-\frac{i^3}{C}=\frac{1}{C}(i^1+i^2)\Rightarrow (i^1)''=\frac{1}{LC}(-2i^1-i^2)\)
On obtient de même \(\Rightarrow -\frac{i^2}{C}-L(i^2)''=-\frac{i^3}{C}=\frac{1}{C}(i^1+i^2)\Rightarrow (i^2)''=\frac{1}{LC}(-i^1-2i^2)\)
On pose : \(\frac{1}{LC}=\omega_0^2\Rightarrow U=\omega_0^2 \left(\begin{array}{cc} -2&-1 \\ -1&-2 \end{array}\right)\)
Détermination des pulsations propres. On pose : \(\omega^2=\alpha \omega_0^2\)
\(\Rightarrow \textrm{d\'et}(U+\omega^2\pi)=\textrm{d\'et}\omega_0^2 \left(\begin{array}{cc} -2+\alpha&-1 \\ -1&-2+\alpha \end{array}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow (-2+\alpha)^2-1=0 \Rightarrow (-2+\alpha)^2=+4-4\alpha+\alpha^2=1\)
\(\Leftrightarrow \alpha^2-4\alpha+3=0 \Rightarrow\) solutions : \(\begin{array}{l} \alpha_1=1\Rightarrow \omega_1^2=\omega_0^2 \\ \alpha_2=3 \Rightarrow \omega_2^2=3\omega_0^2 \end{array}\)
Remarquer que l'on obtient les mêmes pulsations propres que pour les (2 masses 3 ressorts)
\(\Rightarrow\) matrice diagonale \(U_d=\omega_0^2 \left(\begin{array}{cc} -1&0 \\ 0&-3 \end{array}\right)\)
\(\Rightarrow\) modes propres en coordonnées \(\phi\) : \(\phi^1=\left(\begin{array}{c} \phi^1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} A^1\cos(\omega_1t+\alpha_1)\\0 \end{array}\right)\)
\(\phi_2=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \phi^2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} A^2\cos(\omega_2t+\alpha_2)\\0 \end{array}\right)\)
\(\Rightarrow\) modes propres en coordonnées \(\psi : \psi_1=M_1\phi^1\) et \(\psi_2=M_2\phi^2\)
\(\Rightarrow\) Vibration générale : \(\psi=M\phi=M_1\phi^1+M_2\phi^2\) avec \(\psi=\left(\begin{array}{c} i^1\\i^2 \end{array}\right)\)
Les directions propres sont déterminés par : \(UM_i=-\omega_i^2M_i\)
\(\omega_0^2\left(\begin{array}{cc} -2&-1 \\ -1&-2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} 1 \\M_1^2 \end{array} \right) =\omega_0^2 \left(\begin{array}{cc} -2-M_1^2 \\ -1-2M_1^2 \end{array} \right) =-\omega_0^2\left(\begin{array}{c} 1 \\ M_1^2\end{array} \right)\Rightarrow M_1^2=-1\)
\(\omega_0^2\left(\begin{array}{cc} -2&-1 \\ -1&-2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} 1 \\M_2^2 \end{array} \right) =\omega_0^2 \left(\begin{array}{cc} -2-M_2^2 \\ -1-2M_2^2 \end{array} \right) =-\omega_0^2\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3M_2^2\end{array} \right)\Rightarrow M_2^2=+1\)
Les directions propres (i.e. vecteurs propres à un coefficient multiplicatif près) sont :
\(M_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1\end{array} \right) \quad M_2=\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\end{array} \right)\)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lllll}\psi =\left(\begin{array}{c}i^1 \\ i^2\end{array} \right)=& \qquad \psi_1 & +& \qquad \psi_2 & \\ &\stackrel{\uparrow}{ \textrm{mode propre 1}} && \stackrel{\uparrow} {\textrm{mode propre 2}}& \end{array} }\)
\(\qquad = \left(\begin{array}{c} 1\\ -1\end{array} \right)A^1\cos(\omega_1t+\alpha_1)+\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1\end{array} \right)A^2\cos(\omega_2t+\alpha_2)\)
Remarque : mettre en relation
Systèmes : 3 condensateurs + 2 selfs.../... 3 ressorts + 2 masses
Matrices : \(\qquad U=\omega_0^2\left(\begin{array}{cc} -2&-1 \\ +1&-2 \end{array} \right) \qquad\qquad U=\omega_0^2\left(\begin{array}{cc} -2&-1 \\ -1&-2 \end{array} \right)\)
Les matrices de ces deux systèmes ont même déterminant, elles ont mêmes pulsations propres et mêmes directions propres. Elles se distinguent l'une de l'autre par un coefficient de signe différent, ce qui correspond à une convention de sens positif différente dans les 2 cas.