Pont de Wheatstone

Partie

Question

Ce réseau représente les éléments passifs d'un pont de Wheatstone. Calculer la résistance équivalente au réseau :

  • Question 1 : vu de \(\displaystyle{A \textrm{ et }B}\)

  • Question 2 : vu de \(\displaystyle{C \textrm{ et }D}\)

    Application numérique :

    \(\displaystyle{R_1=R_2=R_3=R_4=350\;\Omega}\)

Aide simple

Coup de pouce :

  • Question 1: Faire la somme des conductances.

  • Question 2 : Deux points d'un réseau sont équivalents s'ils sont reliés par un fil de connexion.

Aide détaillée

Plus d'aide :

Question 1  :Ne pas oublier le fil de connexion reliant \(\displaystyle{A \textrm{ et }B}\).

Question 2 : Redessiner le réseau en cherchant les chemins possibles pour aller de \(\displaystyle{C \textrm{ à }D}\).

Solution simple

1) \(\displaystyle{R_{AB}=0}\)

2) \(\displaystyle{R_{CD}=350\;\Omega}\)

Solution détaillée

Question 1

Entre \(\displaystyle{A ~\textrm{et}~ B}\) se trouvent trois branches associées en parallèle :

  • une branche contenant deux dipôles associés en série, de résistance \(\displaystyle{R_1 \textrm{ et }R_2}\).

  • une branche contenant deux autres dipôles associés en série, deux résistances \(R_3\) et \(R_4.\)

  • un fil de connexion.

    La conductance de l'ensemble est égale à la somme des conductances.

    La conductance d'un fil de connexion est infinie.

    Donc la conductance de l'ensemble est infinie, et la résistance de ce réseau, vu de \(\displaystyle{A \textrm{ et }B}\), est nulle.

Question 2

Les points \(\displaystyle{A \textrm{ et }B}\) reliés par un fil de connexion, sont électriquement équivalents. Pour aller de \(\displaystyle{C \textrm{ à }D}\), on peut suivre le chemin \(R_2, B , R_4\), ou le chemin \(R_1, A,R_3;\) comme \(A ~\textrm{et}~ B\) sont équivalents, on peut redessiner le réseau comme suit :

on remplace les dipôles en parallèle par leur résistance équivalente ; pour \(\displaystyle{R_1 \textrm{ et }R_2}\) :

\(\displaystyle{G_{12}=G_1+G_2}\)

\(\displaystyle{\frac{1}{R_{12}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}\)

\(\displaystyle{R_{12}=175\;\Omega}\)

pour \(\displaystyle{R_3 \textrm{ et }R_4}\) :

\(\displaystyle{G_{34}=G_3+G_4}\)

\(\displaystyle{\frac{1}{R_{34}}=\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}}\)

\(\displaystyle{R_{34}=175\;\Omega}\)

vu de \(\displaystyle{C \textrm{ et }D}\), ce réseau a donc pour résistance \(\displaystyle{R_{CD}=R_{12}+R_{34}=350\;\Omega}\)

\(\displaystyle{R_B=\frac{RR_2}{R_1+R_2+R}=23,3\;\Omega}\)

\(\displaystyle{R_A=\frac{RR_1}{R_1+R_2+R}=23,3\;\Omega}\)

On remplace les dipôles en série par leur résistance équivalente

\(\displaystyle{ R_{A3}=R_A+R_3=373,3\;\Omega}\)

\(\displaystyle{R_{B4}=R_B+R_4=373,3\;\Omega }\)

On remplace les dipôles en parallèle par leur résistance équivalente

\(\displaystyle{G_{A3B4}=G_{A3}+G_{B4}}\)

\(\displaystyle{\frac{1}{R_{A3B4}}=\frac{1}{R_{A3}}+\frac{1}{R_{B4}}}\)

\(\displaystyle{R_{A3B4}=186,7\;\Omega}\)

et on applique la loi d'association en série.

\(\displaystyle{R_{CD}=R_C+R_{A3B4} =350\;\Omega}\)