Equations de mouvement d'un pendule
Partie
Question
Equations de mouvement d'un pendule (*)
Un pendule est constitué par une masse ponctuelle \(m\), suspendue à un fil inextensible, de masse négligeable, de longueur \(l\) fixé au point \(O\). Montrer que l'on peut retrouver l'équation du pendule, s'il n'y a pas de frottements, en écrivant que l'énergie mécanique totale du système est une constante du mouvement. A l'instant initial, le pendule est écarté de sa position d'équilibre d'un angle \(\theta_0\), petit.
Aide simple
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle
Solution détaillée
Lorsque le pendule fait un angle\( \theta\) avec la verticale, il est à une altitude \(h\) telle que :
Prenons l'origine des coordonnées en \(A\), avec \(\theta\) assez petit pour que \(\displaystyle{h=l(1-\cos\theta)}\)
\(\displaystyle{h=\frac{l\theta^2}{2}}\)
La vitesse du pendule est \(v\), son énergie totale :
\(\displaystyle{\Delta E=\frac{1}{2}(mv^2)+\frac{1}{2}(mgl\theta^2)=\frac{1}{2}(ml^2\theta'^2)+\frac{1}{2}(mgl\theta^2)}\)
Et en dérivant cette expression on obtient :
\(\displaystyle{ml^2\theta'\theta"+mgl\theta\theta'=0\textrm{ ou encore }l\theta"+g\theta=0}\)
soit
\(\displaystyle{\theta"+\frac{g}{l}\theta=0}\)
qui est l'équation différentielle du mouvement du pendule.