Looping

Partie

Question

Looping (*)

Un modèle réduit d'automobile, de masse m, assimilable à un point, roule sur la piste dont la forme est représentée sur la figure ci-contre. On suppose qu'il n'y a aucun frottement et que la vitesse en \(A, V_A = 0\).

  1. Pour que l'auto ne tombe pas au passage en \(C\), point le plus élevé de la portion de trajectoire circulaire de rayon \(R\), quelle doit être la différence de niveau minimale \(h\) entre l'altitude de départ et l'altitude de \(C\) ?

  2. En supposant que cette condition est satisfaite, quelle est alors, en fonction de \(g\), accélération de la pesanteur, de \(h\) et de \(R\), la vitesse en \(D\) ?

Aide simple

Utiliser la conservation de l'énergie mécanique au cours du mouvement

Solution détaillée

  1. Pour éviter la chute il faut que la composante normale de l'accélération soit, en module, supérieure ou au moins égale au poids, sa valeur minimale est donc donnée par :

    \(\displaystyle{\frac{mv_C^2}{R}=mg}\)

    d'où l'on tire l'expression de la vitesse

    \(\displaystyle{V_C^2=Rg}\)

    Comme il n'y a pas de frottements, l'énergie mécanique se conserve, et par suite :

    \(\displaystyle{mgh=\frac{1}{2}mv_C^2\textrm{ ou }v_C^2=\sqrt{2gh}}\)

    En éliminant \(v_C\) entre ces deux expressions on trouve : \(\displaystyle{h=\frac{R}{2}}\).

  2. La différence de niveau entre \(A \textrm{ et }D\) est \(\displaystyle{H=\frac{5R}{2}}\) ; la différence d'énergie potentielle en \(A\) et en \(D\) est

    \(\displaystyle{\Delta E_p=\frac{5mRg}{2}}\)

    et, puisqu'il y a conservation de l'énergie mécanique :

    \(\displaystyle{\frac{1}{2}=mv_D^2=\frac{5mRg}{2}}\)

    et finalement\( \displaystyle{V_D=\sqrt{5gR}}\).