Bille dans une demi-sphère
Partie
Question
Bille dans une demi-sphère (**)
Une bille, assimilable à un point matériel de masse \(m\), est mobile à l'intérieur d'une demi-sphère de rayon \(R = 1 \textrm{ m}\). On lâche la bille sans vitesse initiale du point \(A\) et elle parvient en \(B\) avec une vitesse \(v = 3,5 \textrm{ ms}^{-1}\).
Montrer qu'il existe un frottement et calculer le travail des forces de frottement.
Aide simple
Le travail des forces de frottement est la différence entre l'énergie mécanique et la somme (énergie cinétique + énergie potentielle)
Solution détaillée
En l'absence de frottements il y a conservation de l'énergie mécanique, la variation d'énergie potentielle est donc égale à la variation d'énergie cinétique. La variation d'énergie potentielle dans le champ de pesanteur, si la masse passe de l'altitude \(z_0 + h\) à l'altitude \(z_0\) est \(\delta U = - mgh\). Si la vitesse est \(0\) en \(A \textrm{ et }v'\) en \(B\) nous pouvons écrire \(\displaystyle{\frac{1}{2}=mv'^2=mgh}\) , ici \(h = R\) donc
\(\displaystyle{v'=\sqrt{2gR}=4,43 \textrm{ ms}^{-1}}\)
On voit que la vitesse observée \(v\) est plus petite que la vitesse calculée \(v'\), il y a donc des frottements et ils ont dissipé une partie de l'énergie mécanique.
Le travail de ces forces de frottement peut être calculé facilement, il est égal à la différence entre l'énergie de la masse en \(A\) et son énergie en \(B\) :
\(\displaystyle{T=W_A-W_B=mgR-\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(v'^2-v^2)}\)
A.N. \(T = 3,7 \textrm{ mJ}\)