Puissance - Travail - Energie
Partie
Question
Travaux et Energie potentielle (1ère partie) (*)
La première partie de cet exercice ne sert qu'à redémontrer des résultats classiques.
Ceux-ci peuvent être utilisés directement pour l'exercice suivant même si cette première question n'est pas traitée.
Quel est le travail effectué par un opérateur sur un système pour:
augmenter d'une hauteur h l'altitude d'une masse m située dans le champ de pesanteur uniforme.
déplacer d'une distance d'une masse accrochée à un ressort de longueur nulle au repos à partir de cette position de repos.
déplacer une masse le long d'un rail sur lequel elle se déplace sans frottement.
On considérera comme admis que ce travail ne dépend pas du chemin suivi et l'on choisira en conséquence le chemin le plus simple possible entre l'état initial et l'état final.
Aide simple
néant
Solution détaillée
1°) a) Cas d'une masse dans un champ de pesanteur
L'opérateur qui déplace une masse d'un point à un autre exerce une force égale et opposée au poids ; le déplacement est a priori quelconque et son travail élémentaire s'écrit :
\(\displaystyle{w=\overrightarrow F_{op}\cdot\overrightarrow{\textrm dl}\textrm{ avec}\overrightarrow F_{op}=-\overrightarrow F=-(mg\overrightarrow k)}\) et
\(\displaystyle{\overrightarrow{\textrm dl}=\textrm dx\overrightarrow i+\textrm dy\overrightarrow j+\textrm dz\overrightarrow k}\)
L'intégrale qui donne le travail total de l'opérateur d'un point à l'autre s'écrit :
\(\displaystyle{W_1^2=\int_{M_1}^{M_2}\overrightarrow F_{op}\cdot\overrightarrow{\textrm dl}=)\int_{z_1}^{z_2}mg\textrm dz=[mgz]_{z_1}^{z_2}}\)
Si \(z_2- z_1 = h\) on retrouve la relation bien connue \(\displaystyle{W_{12}= \Delta E_{\textrm{pesanteur}} = mgh}\).
1°) b) Cas d'une masse accrochée à un ressort .
Un point \(M\) est fixé à une extrémité d'un ressort, ce point peut se déplacer librement le long de l'axe \(Ox\).
On suppose le ressort de longueur nulle au repos, ce qui revient à dire qu'à un instant quelconque, l'allongement est égal à sa longueur. La dureté du ressort est k, ce qui signifie que lorsque le point M est à l'abscisse x il est soumis de la part du ressort à une force
\(\displaystyle{\overrightarrow F=-kx\overrightarrow i}\)
Par suite le travail de l'opérateur consiste à effectuer une force opposée à la force de tension
\(\displaystyle{\overrightarrow F_{op}=-\overrightarrow F=+kx\overrightarrow i}\)
Au cours d'un déplacement élémentaire, le travail est :
\(\displaystyle{w=+kx\overrightarrow i\cdot\overrightarrow{\textrm dl}=+kx\overrightarrow i\cdot(\textrm dx\overrightarrow i+\textrm dy\overrightarrow j+\textrm dz\overrightarrow k)=kx\textrm dx}\)
\(\displaystyle{W_1^2=\Delta E_{\textrm{élastique}}=\int_{M_1}^{M_2}\overrightarrow F_{op}.\overrightarrow{\textrm dl}=\int_0^xkx\textrm dx=[\frac{1}{2}kx^2]_0^x=\frac{1}{2}kx^2}\)
1°) c) Cas d'une masse le long d'un rail
La masse se déplaçant sans frottement, la somme des forces appliquées à la masse est nulle. L'opérateur n'a donc à exercer aucune force pour déplacer la masse :
\(\displaystyle{\overrightarrow F_{op}=\overrightarrow0}\)
Le travail est donc nul.