Sphère d'indice n
Partie
Question
Soit une sphère d'indice n plongée dans l'air.
En utilisant l'équation de conjugaison du dioptre sphérique avec origine au centre (conditions de Gauss), calculer la position de l'image de A à travers la sphère. A.N : n = 4/3 ; R = 3 cm ; OA = 6 cm.
Représenter l'organigramme des images successives à travers les dioptres sphériques.
Aide simple
Utiliser les relations de conjugaison.
Rappel de cours
Le dioptre sphérique n'est rigoureusement stigmatique que pour les points de sa surface et son centre
Il y a stigmatisme approché pour tout point de l'espace qui n'envoie sur le dioptre sphérique qu'un pinceau lumineux dont le rayon moyen lui est normal, c'est à dire peu incliné par rapport à l'axe du dioptre ou encore formé de rayons paraxiaux.
Tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en passant par le foyer image F'.
Un rayon incident passant par le foyer objet du dioptre se réfractera en un rayon parallèle à l'axe optique du dioptre.
Pour construire l'image d'un objet plan :
on utilise 3 rayons particuliers :
un rayon passant par le centre du dioptre et qui n'est pas dévié à la traversée de celui-ci
un rayon issu de \(B_1\) et passant par le foyer objet \(F\) : il est réfracté suivant une parallèle à l'axe principal
un rayon issu de \(B_1\) et parallèle à l'axe principal : il est réfracté suivant un rayon qui passe par le foyer image \(F'\).
Formules de conjugaison :
Origine au sommet
\(\frac{n_1}{\overline{SA_1}}.\frac{n_2}{\overline{SA_2}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{SC}}\)
\(\gamma=\frac{n_1}{n_2}\frac{\overline{SA_2}}{\overline{SA_1}}\)
Origine au centre
\(\frac{n_1}{\overline{CA_2}}.\frac{n_2}{\overline{CA_1}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{CS}}\)
\(\gamma=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{\overline{CA_2}}{\overline{CA_1}}\)
Origine aux foyers
\(\overline{FA_1}\overline{F'A_2}=\overline{SF}\overline{SF'}=ff'\)
\(\gamma=-\frac f{\overline{FA_1}}=\frac{\overline{F'A_1}}{f'}\)
Relation de Lagrange-Helmholtz :
\(n_1\overline{A_1B_1}\theta_1=n_2\overline{A_2B_2}\theta_2\)
Solution détaillée
\(\substack{{A}\\\\{1}} ~\stackrel{D_{1}}{\substack{{\longrightarrow}\\{S_{1}}}}~ ~ \substack{{A'_{1}}\\\\{n}} ~\stackrel{D_{2}}{\substack{{\longrightarrow}\\{S_{2}}}}~ \substack{{A'}\\\\{1}}\)
pour le dioptre \(D_1\) de sommet \(S_1\) on a : \(\frac {n}{\overline{OA}}-\frac{1}{\overline{OA'_{1}}}=\frac{n-1}{\overline{OS_{1}}}=\frac{1-n}{R}\) (1)
pour le dioptre \(D_2\) de sommet \(S_2\) on écrira : \(\frac{1}{\overline{OA'_{1}}}-\frac {n}{\overline{OA'}}=\frac{1-n}{\overline{OS'_{2}}}=\frac{1-n}{R}\) (2)
(1) + (2) ® \(n(\frac1{\overline{OA}}-\frac1{\overline{OA'}})=\frac{2(1-n)}R\)
\(\frac1{\overline{OA}}-\frac1{\overline{OA'}}=\frac{2(1-n)}{nR}\)
\(\frac1{\overline{OA'}}=\frac1{\overline{OA}}-\frac{2(1-n)}{nR}=\frac{nR-2(1-n)}{nR.\overline{OA}}\)
\(\overline{OA'}=\frac{nR.\overline{OA}}{nR-2(1-n).\overline{OA}}\)
A.N : \(n = 4/3\) \(R = 3 cm\) \(\overline{OA}=-6cm\) d'où \(\overline{OA'}=\infty\) \(A'\) est rejeté à l'infini donc \(A\) se trouve au foyer objet du système.