Distances focales-Equation de conjugaison
Partie
Question
Quel devrait être l'indice de réfraction du M.H.T.I. (Milieu Homogène Transparent Isotrope) constitutif d'un oeil parfaitement sphérique, de rayon \(R=\overline{SC}\), sans cristallin pour que l'image d'un objet infiniment éloigné se forme sur la rétine, à l'opposé de la cornée.
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Aide simple
La description fournie est celle d'un oeil mais aussi d'un dioptre sphérique. L'image d'un objet infiniment éloigné est dans le plan focal image en \(F'\).
Ecrivez la distance focale image \(\overline{SF'}\) d'un dioptre de sommet \(S\) séparant un milieu 1 d'un milieu 2.
Aide détaillée
La distance focale image d'un dioptre sphérique est proportionnelle au produit de l'indice du milieu d'émergence par le rayon de courbure algébrique et inversement proportionnelle à l'écart d'indice entre le milieu d'émergence et le milieu d'incidence.
Rappel de cours
Le dioptre sphérique n'est rigoureusement stigmatique que pour les points de sa surface et son centre
Il y a stigmatisme approché pour tout point de l'espace qui n'envoie sur le dioptre sphérique qu'un pinceau lumineux dont le rayon moyen lui est normal, c'est à dire peu incliné par rapport à l'axe du dioptre ou encore formé de rayons paraxiaux.
Tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en passant par le foyer image F'.
Un rayon incident passant par le foyer objet du dioptre se réfractera en un rayon parallèle à l'axe optique du dioptre.
Pour construire l'image d'un objet plan :
on utilise 3 rayons particuliers :
un rayon passant par le centre du dioptre et qui n'est pas dévié à la traversée de celui-ci
un rayon issu de \(B_1\) et passant par le foyer objet \(F\) : il est réfracté suivant une parallèle à l'axe principal
un rayon issu de \(B_1\) et parallèle à l'axe principal : il est réfracté suivant un rayon qui passe par le foyer image \(F'\).
Formules de conjugaison :
Origine au sommet
\(\frac{n_1}{\overline{SA_1}}.\frac{n_2}{\overline{SA_2}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{SC}}\)
\(\gamma=\frac{n_1}{n_2}\frac{\overline{SA_2}}{\overline{SA_1}}\)
Origine au centre
\(\frac{n_1}{\overline{CA_2}}.\frac{n_2}{\overline{CA_1}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{CS}}\)
\(\gamma=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{\overline{CA_2}}{\overline{CA_1}}\)
Origine aux foyers
\(\overline{FA_1}\overline{F'A_2}=\overline{SF}\overline{SF'}=ff'\)
\(\gamma=-\frac f{\overline{FA_1}}=\frac{\overline{F'A_1}}{f'}\)
Relation de Lagrange-Helmholtz :
\(n_1\overline{A_1B_1}\theta_1=n_2\overline{A_2B_2}\theta_2\)
Solution détaillée
La distance focale image \(\overline{SF'}\) d'un dioptre sphérique de rayon \(R\) séparant l'air d'indice \(n_1 = 1\) d'un milieu d'indice \(n_2\) est :
\(\overline{SF'}=f'=n_2*\frac{\overline{SC}}{(n_2-n_1)}\)
Pour obtenir \(\overline{SF'}=2*R\), avec \(R=\overline{SC}\), il faut \(2R=\frac{n_2.R}{n_2-n_1}\) et \(n_2=2.n_1\) donc \(f '= 2R\)