Points conjugués
Partie
Question
Vérifier algébriquement que, dans les conditions de Gauss, l'image conjuguée \(A_2\) par un dioptre sphérique, d'un point objet \(A_1\) donné, se déplace toujours, à une discontinuité près, dans le même sens que l'objet.
Utiliser la relation de conjugaison de Newton
Aide simple
Dans les conditions de Gauss, les projections \(H\) et \(H'\) de \(I\) et \(J\) sur l'axe du système, peuvent être considérés comme confondus avec le sommet \(S\) du dioptre. L'équation de conjugaison, dite de Newton, avec origine aux foyers : \(\overline{FA_1}\cdot\overline{F'A_2}=\overline{SF}\cdot\overline{SF'}\) peut s'écrire \(xy = f.f '\) si l'on désigne par \(y\) la position de l'image par rapport au foyer image, par \(x\) la position de l'objet par rapport au foyer objet et par \(f, f '\) les distances focales objet et image.
\(f=\overline{SF}\quad f'=\overline{SF'}\quad x=\overline{FA_1}\quad y=\overline{F'A_2}\)
Aide détaillée
Les distances focales objet \(f\) et image \(f'\) du dioptre sphérique sont toujours de signes opposés et telles que \(f/f' = -n_{1}/n_{2}\) si \(n_{1}\) et \(n_{2}\) désignent les indices absolus des milieux d'incidence et d'émergence.
L'objet, de coordonnée \(x,\) et son image conjuguée, de coordonnée \(y,\) se déplacent dans le même sens si la coordonnée \(y\) de l'image est une fonction croissante de la coordonnée \(x\) de l'objet soit : \(\frac{dy}{dx}>0.\)
Rappel de cours
Le dioptre sphérique n'est rigoureusement stigmatique que pour les points de sa surface et son centre
Il y a stigmatisme approché pour tout point de l'espace qui n'envoie sur le dioptre sphérique qu'un pinceau lumineux dont le rayon moyen lui est normal, c'est à dire peu incliné par rapport à l'axe du dioptre ou encore formé de rayons paraxiaux.
Tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en passant par le foyer image F'.
Un rayon incident passant par le foyer objet du dioptre se réfractera en un rayon parallèle à l'axe optique du dioptre.
Pour construire l'image d'un objet plan :
on utilise 3 rayons particuliers :
un rayon passant par le centre du dioptre et qui n'est pas dévié à la traversée de celui-ci
un rayon issu de \(B_1\) et passant par le foyer objet \(F\) : il est réfracté suivant une parallèle à l'axe principal
un rayon issu de \(B_1\) et parallèle à l'axe principal : il est réfracté suivant un rayon qui passe par le foyer image \(F'\).
Formules de conjugaison :
Origine au sommet
\(\frac{n_1}{\overline{SA_1}}.\frac{n_2}{\overline{SA_2}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{SC}}\)
\(\gamma=\frac{n_1}{n_2}\frac{\overline{SA_2}}{\overline{SA_1}}\)
Origine au centre
\(\frac{n_1}{\overline{CA_2}}.\frac{n_2}{\overline{CA_1}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{CS}}\)
\(\gamma=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{\overline{CA_2}}{\overline{CA_1}}\)
Origine aux foyers
\(\overline{FA_1}\overline{F'A_2}=\overline{SF}\overline{SF'}=ff'\)
\(\gamma=-\frac f{\overline{FA_1}}=\frac{\overline{F'A_1}}{f'}\)
Relation de Lagrange-Helmholtz :
\(n_1\overline{A_1B_1}\theta_1=n_2\overline{A_2B_2}\theta_2\)
Solution détaillée
Selon l'équation de Newton, la coordonnée \(y\) relative au foyer image \(F'\), de l'image \(A'\) du point \(A\) est \(y=\frac{ff'}x\) d'où \(\frac{dy}{dx}=\frac{-ff'}{x^2}=\frac{(-)\cdot(-)}{(+)} > 0\)
Si l'abscisse \(x\) de l'objet augmente, l'abscisse \(y\) de l'image augmente également. L'objet et l'image se déplacent toujours dans le même sens.
Si \(\overline{FA_1}=x < 0\Rightarrow y > 0\) c'est-à-dire que tant que l'objet est situé avant le foyer objet, l'image est après le foyer image. Dès que l'objet est après le foyer objet, l'image est avant le foyer image.
