Accommodation-Distances focales-Oeil réduit-Equation de Newton
Partie
Question
Une variation de l'indice de réfraction \(n_{21}\) du M.H.T.I. (Milieu Homogène Transparent Isotrope) d'un oeil de 23 mm de diamètre, dépourvu de cristallin est constaté par des chercheurs. La cornée et le milieu intérieur ont même indice de réfraction à tout instant.
Quelle peut-être l'utilité de cette variation ?
La diminution relative de distance focale image correspondant aux valeurs extrêmes de l'indice de réfraction est de 10%. Où se trouve le proximum sachant que le remotum de cet oeil est à l'infini ?
Utiliser les relations de conjugaison du dioptre sphérique
Aide simple
La description fournie est celle d'un oeil mais aussi d'un dioptre sphérique. Ecrivez la distance focale image d'un dioptre séparant un milieu 1 d'un milieu 2.
\(\frac{\Delta f'}{f'}=10\%=0,1\)
Aide détaillée
Pour tout couple de point conjugués \(A\) et \(A'\) de l'axe du dioptre, on a \(\overline{FA}=\frac{(f*f')}{\overline{F'A'}}\). Lorsque l'objet se déplace du remotum au proximum, l'image reste fixe mais la distance \(\overline{F'A'}\) de l'image au foyer image varie de \(O\) (foyer sur la rétine) à \(Df '\).
Rappel de cours
Le dioptre sphérique n'est rigoureusement stigmatique que pour les points de sa surface et son centre
Il y a stigmatisme approché pour tout point de l'espace qui n'envoie sur le dioptre sphérique qu'un pinceau lumineux dont le rayon moyen lui est normal, c'est à dire peu incliné par rapport à l'axe du dioptre ou encore formé de rayons paraxiaux.
Tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en passant par le foyer image F'.
Un rayon incident passant par le foyer objet du dioptre se réfractera en un rayon parallèle à l'axe optique du dioptre.
Pour construire l'image d'un objet plan :
on utilise 3 rayons particuliers :
un rayon passant par le centre du dioptre et qui n'est pas dévié à la traversée de celui-ci
un rayon issu de \(B_1\) et passant par le foyer objet \(F\) : il est réfracté suivant une parallèle à l'axe principal
un rayon issu de \(B_1\) et parallèle à l'axe principal : il est réfracté suivant un rayon qui passe par le foyer image \(F'\).
Formules de conjugaison :
Origine au sommet
\(\frac{n_1}{\overline{SA_1}}.\frac{n_2}{\overline{SA_2}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{SC}}\)
\(\gamma=\frac{n_1}{n_2}\frac{\overline{SA_2}}{\overline{SA_1}}\)
Origine au centre
\(\frac{n_1}{\overline{CA_2}}.\frac{n_2}{\overline{CA_1}}=\frac{n_1-n_2}{\overline{CS}}\)
\(\gamma=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{\overline{CA_2}}{\overline{CA_1}}\)
Origine aux foyers
\(\overline{FA_1}\overline{F'A_2}=\overline{SF}\overline{SF'}=ff'\)
\(\gamma=-\frac f{\overline{FA_1}}=\frac{\overline{F'A_1}}{f'}\)
Relation de Lagrange-Helmholtz :
\(n_1\overline{A_1B_1}\theta_1=n_2\overline{A_2B_2}\theta_2\)
Solution détaillée
Le système optique centré de cet oeil est un dioptre sphérique unique puisque la lumière passe d'un milieu transparent homogène isotrope à un autre milieu H.T.I. lors d'une réfraction unique à travers la surface sphérique de la cornée.
Une variation d'indice de réfraction peut permettre un déplacement du foyer image \(F'\) nécessaire à toute accommodation.
\(\overline{SF'}=n_2*\frac{\overline{SC}}{(n_2-n_1)}\)
La relation de Newton \(\overline{FA}*\overline{F'A'}=f*f'\) donne la distance au foyer \(F\) de tout point \(A\) de l'axe. Lorsque \(A\) coïncide avec le proximum \(P\), la diminution de la distance focale est maximale.
\(\overline{FA}=\frac{(f*f')}{\overline{F'A'}}\) or \(\overline{F'A'}=\Delta f'\) et \(\frac{\Delta f'}{f'}=\left(\frac{10}{100}\right)\) soit \(\overline{F'A'}=f'/10\)
d'où \(\overline{FA}=\overline{FP}=\frac{f*f'}{f'/10}=10f\)
et \(\overline{SP}=\overline{SF}+\overline{FP}=11f\)
Le proximum se trouve à une distance de l'oeil égale à 11 fois la distance focale objet.
