Synthèse

Ecrivons le gradient sous la forme .

\(\displaystyle{\overrightarrow{\Delta}V=A\overrightarrow u_\rho+B\overrightarrow u_\theta}\)

Le problème consiste à déterminer \(A \textrm{ et }B\). Puisque

\(\displaystyle{dV=\overrightarrow\Delta V.\overrightarrow{dr}=\frac{\delta V}{\delta\rho}\textrm d\rho+\frac{\delta V}{\delta\theta}\textrm d\theta}\)

calculons\( \overrightarrow{dr}\). Compte tenu des relations : \(x = r \cos q \textrm{ et }y = r \sin q\) et que de plus,

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\overrightarrow i&=&\cos\theta\overrightarrow u_\rho-\sin\theta\overrightarrow u_\theta\\\overrightarrow j&=&\sin\theta\overrightarrow u_\rho+\cos\theta\overrightarrow u_\theta\end{array}}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{dr}=\textrm dx\overrightarrow i+\textrm dy\overrightarrow j=\textrm d\rho\overrightarrow u_\rho+\rho\textrm d\theta\overrightarrow u_\theta}\)

Alors

\(\displaystyle{(A\overrightarrow u_\rho+B\overrightarrow u_\theta)\cdot(\overrightarrow u_\rho\textrm d\rho+\overrightarrow u_\theta\rho\textrm d\theta)=\frac{\delta V}{\delta\rho}\textrm d\rho+\frac{\delta V}{\delta\theta}\textrm d\theta}\)

d'où l'on déduit et

\(\displaystyle{A=\frac{\delta V}{\delta\rho}\textrm{ et }B=\frac{1}{\rho}\frac{\delta V}{\delta\theta}}\)

et finalement :

\(\displaystyle{\overrightarrow{\Delta}V=\frac{\delta V}{\delta\rho}\overrightarrow u_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\delta V}{\delta\theta}\overrightarrow u_\theta}\)