Champs de forces
Partie
Question
Calcul de rotationnel (*)
La force suivante dérive-t-elle d'un potentiel ?
\(\displaystyle{\overrightarrow F=(x^2z-z^3)\overrightarrow i+(3xyz+xz^2)\overrightarrow j+(2x^2yz+yz^4)\overrightarrow k}\)
Aide simple
Lorsqu'on dérive partiellement par rapport à une variable, les autres sont supposées invariables.
Solution détaillée
Pour que la force \(\overrightarrow F\) dérive d'un potentiel, il faut que\( \overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow F=\overrightarrow0\).
Calculons ce rotationnel par la méthode du déterminant symbolique :
\(\displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow F\left\vert\begin{array}{cccccc}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\\frac{\delta}{\delta x}&\frac{\delta}{\delta y}&\frac{\delta}{\delta z}\\(x^2z-z^3)&(3xyz+xz^2)&(2x^2yz+yz^4)\end{array}\right\vert}\)
\(\displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow F=(2x^2z+z^4-3xy-2xz)\overrightarrow i-(4xyz-x^2+3z^2)\overrightarrow j+(3yz+z^2)\overrightarrow k}\)
\(\overrightarrow F\) ne dérive pas d'un potentiel.