Champs de forces
Partie
Question
Calcul de potentiel scalaire
Soit \(\displaystyle{\overrightarrow A=(2xy+z^3)\overrightarrow i+(x^2+2y)\overrightarrow j+(3xz^2-2)\overrightarrow k}\) .
Montrer que \(\displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow A=\overrightarrow0}\).
Trouver une fonction scalaire \(\Phi\) telle que \(\displaystyle{\overrightarrow A=-\overrightarrow{\textrm{grad}}\Phi}\) .
Montrer que l'intégrale
\(\displaystyle{\int_{M_1}^{M_2}\overrightarrow A\cdot\overrightarrow{\textrm dl}}\)
est indépendante du chemin (C) reliant les points \(E(1,-1,1) \textrm{ et }F(2,1,2)\).
Calculer la valeur de cette intégrale le long d'un chemin quelconque reliant ces points.
Aide simple
Un champ conservatif a son rotationnel nul.
Le travail de ce champ est indépendant du chemin suivi.
Solution détaillée
Ici encore, nous calculons \(\displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow A}\) par\ la méthode du déterminant symbolique, on trouve :
\(\displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow A=(0-0)\overrightarrow i-(3z^2-3z^2)\overrightarrow j+(2x-2x)\overrightarrow k=0}\)
on en déduit que dérive bien d'un potentiel scalaire \(\Phi\). Calculons \(\Phi\), nous disposons pour cela des trois équations :
\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}A_x&=&2xy+z^3=-\frac{\delta\Phi}{\delta x}\\A_x&=&x^2+2y=-\frac{\delta\Phi}{\delta y}\\A_x&=&3xz^2-2=-\frac{\delta\Phi}{\delta x}\end{array}}\)
On intègre la première équation en considérant \(y \textrm{ et }z\) comme des constantes :
\(\displaystyle{\Phi=-(x^2y+z^3x+F(y,z))}\)
F étant une fonction quelconque de \(y \textrm{ et }z\)
On utilise l'expression obtenue pour écrire la deuxième équation:
\(\displaystyle{x^2+\frac{\delta F}{\delta y}=x^2+2y\textrm{ soit }\frac{\delta F}{\delta y}=2y}\)
où \(F = y^2+ G(z)\), avec \(G\) qui est une fonction quelconque de \(z\).
On peut maintenant écrire : \(\Phi = - [x^2y+z^3x+y^2+G(z)]\) et en portant dans la troisième équation :
\(\displaystyle{-\frac{\delta\Phi}{\delta z}=3xz^2+\frac{\delta G}{\delta z}=3xz^2-2}\)
où
\(\displaystyle{\frac{\delta G}{\delta z}=-2}\)
On trouve finalement \(G = -2z + \textrm{Constante et }\Phi=-x^2y-xz^3-y^2+2z+K\) où \(K\) étant une constante arbitraire.