Champs de forces
Partie
Question
Travail sur une hélice
Soit l'hélice d'équations: \(x = a \cos u, y = a \sin u, z = au\). Calculer le travail de la force
\(\displaystyle{\overrightarrow F=z\overrightarrow i+x\overrightarrow j+y\overrightarrow k}\)
lorsqu'on se déplace sur l'hélice du point correspondant à \(u = 0 (x = a, y = 0, z = 0)\) au point correspondant à \(u = 2\pi (x = a, y = 0, z = 2a^1)\).
Aide simple
Décomposer le contour en portions de courbes
exprimer le déplacement différentiel sur chacune des portions
Calculer le travail "par morceaux"
Penser aux bornes d'intégration.
Solution détaillée
Il s'agit de calculer l'intégrale :
\(\displaystyle{C=\int_{u=0}^{u=2\pi}z\textrm dx+x\textrm dy+y\textrm dz=a^2\int_0^{2\pi}u\textrm d(\cos u)+\cos u\textrm d(\sin u)+\sin u\textrm du}\)
qui peut se séparer en une somme de deux intégrales comme suit :
\(\displaystyle{C=a^2\int_0^{2\pi}(\sin u+\frac{1+\cos2u}{2})\textrm du+a^2\int_0^{2\pi}u\textrm d(\cos u)}\)
La première est égale à \(\pi a^2\) , la seconde se calcule par parties :
\(\displaystyle{\int_0^{2\pi}ud(\cos u)=[u\cos u]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\cos u\textrm du=2\pi}\)
Soit enfin \(C = \pi a^2 + 2\pi a^2 = 3\pi a^2\)