Champs de forces

Partie

Question

Travail : calcul en cartésien (*)

Calculer le travail reçu par un point matériel se déplaçant dans le champ :

\(\displaystyle{\overrightarrow F=3x^2\overrightarrow i+(2xz-y)\overrightarrow j+z\overrightarrow k}\)

1/ Le long du segment de droite joignant les points (\(0,0,0\)) et (\(2,1,3\))

2/ le long de la courbe d'équations \(x = 2t^2 , y = t , z = 4t^2 - t \textrm{ entre }t = 0 \textrm{ et }t = 1\).

Expliquez les résultats.

Aide simple

Décomposer le contour en portions de courbes

exprimer le déplacement différentiel sur chacune des portions

Calculer le travail "par morceaux"

Penser aux bornes d'intégration.

Solution détaillée

Le travail fourni par le champ lorsque le point se déplace de (\(0,0,0\)) en (\(2,1,3\)) est égal à l'intégrale curviligne :

\(\displaystyle{\displaystyle{W=\int3x^2\textrm dx+(2xz-y)\textrm dy+z\textrm dz}}\)

le long de la courbe suivie par le point.

1/ Pour W calculée le long du segment :

Les équations de la droite joignant les deux points sont \(\displaystyle{\frac{x}{2}=y=\frac{z}{3}}\) ou encore \(x = 2y \textrm{ et }z = 3y\) , ce qui donne

\(\textrm dx = 2\textrm dy \textrm{ et }\textrm dz = 3\textrm dy\). L'intégrale s'écrit alors :

\(\displaystyle{W=\int24y^2\textrm dy+(12y^2-y)\textrm dy+9y\textrm dy=\int(36y^2+8y)\textrm dy}\)

soit encore \(\displaystyle{W=[36\frac{y^3}{3}+8\frac{y^2}{2}]_0^1=16}\) unités de travail.

2/ Suivant la trajectoire dont les équations paramétriques sont fournies dans l'énoncé :

\(x = 2t^2, y = t , \textrm{ et }z = 4t^2 - t ; \textrm{ soit }\textrm dx = 4t \textrm dt , \textrm dy = \textrm dt , \textrm{ et d}z = (8t - 1) \textrm dt\)

Tous calculs faits on obtient \(W = 14,2\) unités de travail.

Les travaux ont des valeurs différentes, ils dépendent du chemin suivi, la force \(\overrightarrow F\) n'est pas conservative.