Champs de forces
Partie
Question
Calcul de potentiel scalaire (*)
Montrer que le champ de forces suivant dérive d'un potentiel :
\(\displaystyle{\overrightarrow F=(y^2z^3-6xz^2)\overrightarrow i+2xyz^3\overrightarrow j+(3xy^2z^2-6x^2z)\overrightarrow k}\)
Calculer le travail fourni par pour le déplacement d'un point matériel de \(A(2,1,3) \textrm{ en }B(1,-2,-1)\).
Aide simple
Un champ conservatif a son rotationnel nul.
Le travail de ce champ est indépendant du chemin suivi.
Solution détaillée
Le calcul de \(\displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow F=\overrightarrow0}\)
par la méthode du déterminant symbolique donne :
\(\displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow F=\overrightarrow0=(6xyz^2-6xyz^2)\overrightarrow i+(-3y^2z^2+12xz+3y^2z^2-12xz)\overrightarrow j+(2yz^3-2yz^3)\overrightarrow j}\)
Pour calculer le potentiel nous disposons des trois équations :
\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\frac{\delta U}{\delta x}&=&-(y^2z^3-6xz^2)\\\frac{\delta U}{\delta y}&=&-2xyz^3\\\frac{\delta U}{\delta z}&=&-(3xy^2z^2-6x^2z)\end{array}}\)
La première de ces équations fournit par intégration
\(\displaystyle{U=-y^2z^3x-3x^2z^2+G(y,z)}\)
En dérivant cette expression par rapport à y et en portant le résultat dans la deuxième on trouve\( \displaystyle{\frac{\delta G}{\delta y}=0}\) , soit
\(\displaystyle{U=-y^2z^3x-3x^2z^2+H(z)}\)
En procédant de la même manière pour la troisième on trouve \(H(z) = 0\) soit finalement :
\(\displaystyle{U=-y^2z^3x-3x^2z^2+\textrm{Constante}}\)
Quant au travail de \(\overrightarrow F\) au cours du déplacement proposé, il est égal à la différence \(U(A) - U(B) = -2*81 - 1 = -163\)(unité de travail).