Synthèse

On constate que \(\displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow F=\overrightarrow0}\) puisque :

\(\displaystyle{\frac{\delta F_z}{\delta y}-\frac{\delta F_y}{\delta z}=0-0\quad\frac{\delta F_x}{\delta z}-\frac{\delta F_z}{\delta x}=3z^2-3z^2=0}\)

et que de plus

\(\displaystyle{\frac{\delta F_y}{\delta x}-\frac{\delta F_x}{\delta y}=2y\cos x-2y\cos x=0}\)

Pour calculer le potentiel U nous procédons comme dans l'exercice 02 en écrivant sucessivement :

\(\displaystyle{\frac{\delta U}{\delta x}=-y^2\cos x-z^3}\)

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}U&=&-y^2\sin x-z^3x+4y+G(z)\\\frac{\delta U}{\delta y}&=&-2y\sin x+\frac{\delta\Phi}{\delta y}=-2y\sin x+4\end{array}}\)

\(\displaystyle{\frac{\delta\Phi}{\delta y}=4}\)

\(\displaystyle{\Phi=4y+G(z)}\)

Par conséquent \(U = - y^2 \sin x - z^3x + 4y + G(z)\)

Et dernière étape :

\(\displaystyle{\frac{\delta U}{\delta z}=-3z^2x+\frac{\delta G}{\delta z}=-3xz^2-2}\)

soit \(G(z) = -2z + \textrm{Cte}\)

Nous venons de montrer que \(\overrightarrow F\) est conservative, le travail de ce champ pour un déplacement d'un point à un autre ne dépend que de ces deux points et non du chemin suivi, il est égal à la différence des valeurs du potentiel en ces deux points.

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}W_A^B&=&U(A)-U(B)\\U(A)&=&6+\textrm{Cte},\\U(B)&=&-9-\frac{8\pi}{2}+\textrm{Cte}\\W_A^B&=&15+4\pi\end{array}}\)