Synthèse

Pour que\( \overrightarrow F\) dérive d'un potentiel il faut que \(\displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow F=\overrightarrow0}\) . Cette condition se traduit par les équations

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\frac{\delta F_z}{\delta y}-\frac{\delta F_y}{\delta z}&=&c+1=0\textrm{ ou }c=-1\\\frac{\delta F_x}{\delta z}-\frac{\delta F_z}{\delta x}&=&a-4=0\textrm{ ou }a=4\\\frac{\delta F_y}{\delta x}-\frac{\delta F_x}{\delta y}&=&b-2=0\textrm{ ou }b=2\end{array}}\)

Pour calculer le potentiel nous utilisons le fait que :

\(\displaystyle{F_x=-\frac{\delta V}{\delta x}\quad F_y=-\frac{\delta V}{\delta y}\quad F_z=-\frac{\delta V}{\delta z}}\)

Résolvons d'abord

\(\displaystyle{\frac{\delta V}{\delta x}=-x-2y-4z}\)

qui nous donne par intégration

\(\displaystyle{V=-\frac{x^2}{2}-2yx-4zx+\Phi(y,z)}\)

où \(\Phi\) est une fonction inconnue de \(y \textrm{ et de }z\).

En dérivant cette expression par rapport à \(y\) et en égalant à - \(F_y\) :

\(\displaystyle{\frac{\delta V}{\delta y}=-2x+\frac{\delta\Phi}{\delta y}=-2x-3y+z}\)

soit,

\(\displaystyle{\Phi=-\frac{3y^2}{2}+zy+G(z) ;V=-\frac{x^2}{2}-2yx-4zx-\frac{3y^2}{2}+zy+G(z)}\)

En dérivant par rapport à \(z\) et égalant à -\(F_z\) on obtient :

\(\displaystyle{\frac{\delta V}{\delta z}=-4x+y+\frac{\delta G}{\delta z}=-4x+y-2z}\)

soit encore\( G=-z^2+\textrm{Cte}\)e et finalement :

\(\displaystyle{V=-\frac{x^2}{2}-2yx-4zx-\frac{3y^2}{2}+zy-z^2+\textrm{Cte}}\)