Champs de forces
Partie
Question
Calcul de circulation (en cartésien)
Soit le champ \(\displaystyle{\overrightarrow F=-\frac{y}{x+y}\overrightarrow i+\frac{x}{x+y}\overrightarrow j}\)
, dans le plan xOy.
Calculer la circulation de \(\overrightarrow F\) lorsqu'on va de \(A(1,0) \textrm{ en }B(0,1)\) :
1 - en suivant le contour en ligne brisée \(AOB\).
2 - en suivant la droite \(AB\).
Que pouvez-vous en conclure ?
Aide simple
Décomposer le contour en portions de courbes
exprimer le déplacement différentiel sur chacune des portions
Calculer le travail "par morceaux"
Penser aux bornes d'intégration.
Solution détaillée
Nous avons à calculer
\(\displaystyle{C=\int_{\textrm{Contour}}\frac{x\textrm dy-y\textrm dx}{x+y}}\)
1/ L' additivité de l'intégrale de chemin donne :
\(\displaystyle{C=\int_{AOB}=\int_{AO}+\int_{OB}}\)
Dans la première de ces deux intégrales \(y = 0 \textrm{ et }\textrm dy = 0\) , elle est donc nulle. La seconde est nulle aussi puisque dans ce cas \(x = 0 \textrm{ et }\textrm dx = 0\). Le long de ce trajet la circulation \(C\) est nulle.
2/ Suivant \(AB : y + x = 1\). Prenons \(x\) comme paramètre, alors :
\(\displaystyle{C=\int_1^0\frac{xd(1-x)-(1-x)dx}{x+(1-x)}=\int_1^0-dx=-[x]_1^0=+1}\)
On constate que la circulation dépend du chemin suivi.