Champs de forces
Partie
Question
Champ central (**)
On donne les composantes du rotationnel d'un vecteur \(\overrightarrow A\) en coordonnées cylindriques planes:
\(\displaystyle{(\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow A_\rho)=\frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\delta}{\delta\theta}[A\Phi\sin\theta]-\frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\delta A_\theta}{\delta\Phi}}\)
\(\displaystyle{(\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow A)_\Phi=\frac{1}{\rho}\frac{\delta}{\delta\rho}(\rho A_\theta)-\frac{1}{\rho}\frac{\delta A_\rho}{\delta\theta}}\)
\(\displaystyle{(\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow A)_\theta=\frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\delta A_\rho}{\delta\Phi}-\frac{1}{\rho}\frac{\delta}{\delta\rho}(\rho A_\Phi)}\)
Pour qu'un champ central dérive d'un potentiel, montrer qu'il ne doit être fonction que de la distance \(r \textrm{ de }M\) au centre et non du vecteur \(\overrightarrow r\) (\(M\) étant le point de l'espace où on considère le champ). On prendra pour centre l'origine O des coordonnées.
Aide simple
Si la dérivée partielle par rapport à une variable d'une fonction de plusieurs variables est identiquement nulle, alors, la fonction est indépendante de cette variable.
Solution détaillée
Le champ est central, cela implique que \(\overrightarrow A\) est porté par le rayon vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{OM}=\overrightarrow r}\) , ses composantes sont respectivement \(A\rho = A, A_\theta = 0, A_\Phi = 0\).
Puisqu'il dérive d'un potentiel, son rotationnel est nul, cette condition se réduit dans le cas présent aux deux équations :
\(\displaystyle{\frac{\delta A}{\delta\theta}=0\textrm{ et }\frac{\delta A}{\delta\Phi}=0}\)
ce qui signifie que \(\overrightarrow A\) ne dépend ni de\( \Phi\) ni de \(\theta\), et démontre donc la proposition.