Suites de fonctions

\(n \in \mathbb{N}^{*} \qquad f_{n} : \begin{array}{|c l l}[0, 1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & \frac{nx + \sin{~(~nx~)~}}{n + x} \end{array}\)

\(\forall x \in [0, 1], \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = x \qquad (f_{n}) \overset{\textrm{CVS}}{\underset{[0, 1]}{\rightarrow}} f (x \mapsto x)\)

• Toutes les fonctions \(f_{n}\) sont continues sur [0,1], \(f\) est aussi continue sur [0, 1].

• \(\underset{x \rightarrow 1}{\textrm{lim}} f(x) = 1\)

  \(\underset{x \rightarrow 1}{\textrm{lim}} \frac{nx + \sin{~(~nx~)~}}{n + x} = \frac{n + \sin{~(~n~)~}}{n + 1}\) et \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \frac{n + \sin{~(~n~)~}}{n + 1} = 1\)

  donc, \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left(~\underset{x \rightarrow 1}{\textrm{lim}} \frac{nx + \sin{~(~nx~)~}}{n + x} \right) = 1\)

  On peut intervertir les limites.

Posons \(m_{n} = \underset{[0, 1]}{\textrm{sup}} \left( |f_{n}(x) - f(x)|\right)\),

\(|f_{n}(x) - f(x)| = \left| \frac{nx + \sin{~(~nx~)~}}{n + x}-x \right| = \left| \frac{nx + \sin{~(~nx~)~} - nx - x^{2}}{n + x}-x \right| = \left| \frac{x^{2} - sin{~(~nx~)~}}{n + x} \right|\)

Ainsi, \(m_{n} = \underset{[0, 1]}{\textrm{sup}} \left(~\left| \frac{x^{2} - \sin{~(~nx~)~}}{n + x} \right|~\right)\)

Or, pour tout \(x\) de [0, 1] et pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a :

\(\begin{array}{r l l} x^{2} - 1\leq & x^{2} - \sin{~(~nx~)~} & \leq x^{2} + 1 \\-1 \leq x^{2} - 1 & & x^{2} + 1 \leq 2 \end{array}\)

donc : \(\begin{array}{r l l} -\frac{1}{n + x} \leq & \frac{x^{2} - \sin{~(~nx~)~}}{n + x} & \leq \frac{2}{n + x} \\ \\ -\frac{1}{n} \leq -\frac{1}{n + x} & & \frac{2}{n + x} \leq \frac{2}{n} \end{array}\)

donc : \(-\frac{1}{n} \leq \frac{x^{2} - \sin{~(~nx~)~}}{n + x} \leq \frac{2}{n}\)

On a donc : \(0 \leq m_{n} \leq \frac{2}{n}\)

D'où : \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} m_{n} = 0\)

\(f_{n}(x) = n \sin{~\left(~\frac{x}{n}~\right)~} \qquad \forall x \in\mathbb{R}, \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = x\) et \(\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f(x) = +\infty\)

Donc, \(\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left(~\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x)~\right) = +\infty\)

Mais, pour tout entier \(n \geq 1\), \(f_{n}(x)\) n'a pas de limite quand \(x \rightarrow +\infty\), donc l'écriture \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left(~\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} f_{n}(x)~\right)\) n'a pas de sens.

On ne peut pas intervertir les limites.

Posons \(m_{n} = \underset{\mathbb{R}}{\textrm{sup}} \left(~\left| f_{n}(x) - f(x)\right|~\right)\),

On peut remarquer que \(f_{n}(n\pi) = 0\), donc \(|f_{n}(n\pi) - f(n\pi)| = n\pi\), donc \(m_{n} \geq n\pi\).

D'où : \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} m_{n} = +\infty\)