Critère de Cauchy uniforme
Définition : Suite de fonctions uniformément de Cauchy

On dit que la suite de fonctions ( ) est uniformément de Cauchy sur lorsque :

Pour tout , il existe tel que 

si et si alors, pour tout

Remarque

Dire que, pour tout de , est de Cauchy, s'écrit :

Pour tout , pour tout , il existe tel que et

Encore une fois, ce qui différencie "pour tout de , de Cauchy" et "( uniformément de Cauchy sur " est la place de "pour tout de " qui intervient avant le choix de dans le premier cas et après le choix de dans le second cas.

Propriété : Critère de Cauchy uniforme

( ) converge uniformément sur si et seulement si ( ) est uniformément de Cauchy sur .

Démonstration
  • Condition nécessaire :

    ( ) converge uniformément vers sur .

    Alors, pour tout , il existe de tel que :

    • si alors, pour tout de ,

    • si alors, pour tout de ,

    On a alors, pour tout de  :

    Ceci prouve bien que ( ) est uniformément de Cauchy sur .

  • Condition suffisante :

    pour tout x de I, \left( f_{n}(x) \right) est une suite de Cauchy dans \mathbb{R}, donc \left( f_{n}(x)\right) converge, on note f(x) sa limite.

    On a : .

    Puis, on fait tendre vers  : ,

    donc, ( ) converge uniformément vers sur .

Légende :
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