Critère de Cauchy uniforme
Définition : Suite de fonctions uniformément de Cauchy
On dit que la suite de fonctions (\(f_{n}\)) est uniformément de Cauchy sur \(I\) lorsque :
Pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N_{\varepsilon} \in \mathbb{N}\) tel que
si \(n \geq N_{\varepsilon}\) et si \(p \geq N_{\varepsilon}\) alors, pour tout \(x \in I, |f_{n}(x) - f_{p}(x)| < \varepsilon\)
Remarque :
Dire que, pour tout \(x\) de \(I\), \(\left( f_{n}(x) \right)\) est de Cauchy, s'écrit :
Pour tout \(x \in I\), pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N_{\varepsilon , x} \in \mathbb{N}\) tel que \(n \geq N_{\varepsilon , x}\) et \(p \geq N_{\varepsilon , x} \Rightarrow |f_{n}(x) - f_{p}(x) < \varepsilon\)
Encore une fois, ce qui différencie "pour tout \(x\) de \(I\), \(\left( f_{n}(x) \right)\) de Cauchy" et "(\(f_{n}\) uniformément de Cauchy sur \(I\)" est la place de "pour tout \(x\) de \(I\)" qui intervient avant le choix de \(N\) dans le premier cas et après le choix de \(N\) dans le second cas.
Propriété : Critère de Cauchy uniforme
(\(f_{n}\)) converge uniformément sur \(I\) si et seulement si (\(f_{n}\)) est uniformément de Cauchy sur \(I\).
Démonstration :
Condition nécessaire :
(\(f_{n}\)) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\).
Alors, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N_{\varepsilon}\) de \(\mathbb{N}\) tel que :
si \(n \geq N_{\varepsilon}\) alors, pour tout \(x\) de \(I\), \(\left| f_{n}(x) - f(x)\right| < \frac{\varepsilon}{2}\)
si \(p \geq N_{\varepsilon}\) alors, pour tout \(x\) de \(I\), \(\left| f_{p}(x) - p(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2}\)
On a alors, pour tout \(x\) de \(I\) : \(\left| f_{p}(x) - f_{n}(x)\right| \leq \left| f_{p}(x) - f_{n}(x)\right| + \left| f(x) - f_{n}(x)\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\)
Ceci prouve bien que (\(f_{n}\)) est uniformément de Cauchy sur \(I\).
Condition suffisante :
pour tout x de I, \left( f_{n}(x) \right) est une suite de Cauchy dans \mathbb{R}, donc \left( f_{n}(x)\right) converge, on note f(x) sa limite.
On a : \(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N_{\varepsilon} \quad \forall p > N \quad \forall n > N \quad \forall x \in I \quad \left| f_{n}(x) - f_{p}(x)\right| < \varepsilon\).
Puis, on fait tendre \(p\) vers \(+ \infty\) : \(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall n > N \quad \forall x \in I \quad \left| f_{n}(x) - f(x)\right| \leq \varepsilon\),
donc, (\(f_{n}\)) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\).