Majorant uniforme

Dans de nombreux cas, on ne cherchera pas à calculer ce que vaut \(m_{n}\), il nous suffira de majorer \(|f_{n}(x) - f(x)|\) par une quantité indépendante de \(x\) et qui tend vers 0 lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

ThéorèmeMajorant uniforme

(\(f_{n}\)) converge uniformément sur \(I\) vers \(f\) si et seulement si il existe une suite (\(M_{n}\)) de limite égale à 0 telle que, pour tout \(n\), pour tout \(x\), \(n|f_{n}(x) - f(x)| \leq M_{n}\).

On dit que (\(M_{n}\)) majore uniformément la suite (\(f_{n}\)).