Différence avec la convergence simple
Dans la convergence simple, on a: \(\forall x \in I, \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N_{\varepsilon , x} \quad (n \geq N_{\varepsilon, x} \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \varepsilon)\)
Dans la convergence simple, le \(N\) dépend de \(x\) et de \(\varepsilon\).
Dans la convergence uniforme, le \(N\) doit être indépendant de \(x\).
Interprétation graphique
Convergence simple : exemple 4
Le point \(M_{0} \left( x_{0},f_{n}(x_{0}) \right)\) est dans la bande \(C_{f-\varepsilon}\), \(C_{f+\varepsilon}\) mais \(C_{f\varepsilon}\) peut sortir de cette bande en un autre point dans le cas de la convergence simple.
Convergence uniforme : exemple 9
En revanche, \(C_{fn}\) est entièrement dans la bande \(C_{f-\varepsilon}\), \(C_{f+\varepsilon}\) dans le cas de la convergence uniforme.
