Reprise des exemples
Exemple : Exemple 1

On a vu que .

Donc, la convergence de la suite ( ) vers n'est pas uniforme sur .

En revanche, sur tout fermé borné ( ), la convergence est uniforme car, pour tout  :

Donc, et, puisque , on en déduit que .

Ce qui prouve bien que la convergence de ( ) vers sur est uniforme.

Exemple : Exemple 3

où l'on se restreint à définie sur .

Posons .

( ) est bien une suite de points de et

Or, , donc, la convergence de ( ) vers n'est pas uniforme sur .

Exemple : Exemple 4

On a vu que .

On remarque que , donc  ;

donc, ,

donc .

Donc la convergence de la suite ( ) vers n'est pas uniforme sur .

En revanche, sur tout fermé borné , la convergence est uniforme car, pour tout , en posant , on a : ;

donc, est décroissante sur  ;  ; .

or, car :

  • pour  : ,

  • pour , le résultat est trivial.

Donc, , ce qui prouve bien que la convergence de ( ) vers sur est uniforme.

Exemple : Exemple 5

Il est immédiat de voir que , donc  ; ce qui prouve que la convergence de ( ) vers n'est pas uniforme sur .

Exemple : Exemple 6

Pour tout de ,

Posons , on a donc :

,

ainsi, , ce qui prouve que la convergence de ( ) vers n'est pas uniforme sur .

Soit maintenant un intervalle fermé borné de . Posons et .

Alors, pour  :

Ce qui prouve que la convergence de ( ) vers est uniforme sur .

Exemple : Exemple 7

Posons x_{n} = \frac{1}{2n}.

Alors, puisque 0 < x_{n} < \frac{1}{n},

Donc, .

Ceci prouve que la convergence de ( ) vers n'est pas uniforme sur .

Exemple : Exemple 8

On voit immédiatement que .

On en déduit que .

Ceci prouve que la convergence de ( ) vers n'est pas unforme sur .

Légende :
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