Construction géométrique de l'ellipse
Durée : 4 mn
Note maximale : 4
Question
On peut construire une ellipse en déterminant la position de chaque point \(M\) à partir d'un point \(P\) d'un cercle \((O, a)\) de centre \(O\) et de rayon \(a\).
Ainsi, si on appelle \(H\) la projection sur l'axe \(Ox\) du point \(P\), on place \(M\) sur le segment \(HP\) de telle sorte que, pour \(b > 0\), on a
\(\displaystyle{\frac{HM}{HP}=\frac{a}{b}}\)
Vérifiez-le en établissant l'équation de cette ellipse en coordonnées cartésiennes.
Solution
Les cordonnées cartésiennes \(X\) et \(Y\) du point \(P\) sont liées par la relation
\(X^2+Y^2=a^2\).
qui est l'équation d'un cercle de centre \(O\) et de rayon \(a\).
(1 point)
Le point \(M\) a pour coordonnées \(x\) et \(y\), tels que
\(x = X\) et \(\displaystyle{y=\frac{bY}{a}}\)
(1 point)
En substituant dans l'équation du cercle \((O, a)\), on obtient :
\(\displaystyle{x^2+\frac{a^2y^2}{b^2}=a^2}\) ou bien \(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\)
qui est bien l'équation d'une ellipse de centre O et dont les demi-axes sont respectivement \(OA=a\) et \(\displaystyle{OB=a\left(\frac{b}{a}\right)=b}\)
(2 points)