Équation polaire de l'ellipse
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
On considère dans le plan \(xOy\), l'ellipse de foyers \(F( c, 0)\) et \(F'(- c, 0)\), avec \(c > 0\), telle que \(MF'+MF=2a (a > c)\).
Calculez \(MF'^2-MF^2\) puis \(MF'-MF\) et enfin \(MF\).
Établissez l'équation polaire de l'ellipse par rapport au foyer \(F\), c'est à dire la relation qui lie \(r =FM\) et \(\varphi = (Fx, FM)\) et dans laquelle il est commode de faire apparaître les paramètres \(p=b^2/a\) et \(e=c/a\)
Solution
On appelle \(H\) la projection de \(M\) sur l'axe \(Ox\). On a alors :
\(\begin{array}{cc}MF'^2-MF^2=(MH^2+HF'^2)-(MH^2+HF^2)=HF'^2-HF^2\\=(x+c)^2-(x-c)^2=4cx\end{array}\)
(3 points)
Mais on peut écrire également :
\(MF'^2-MF^2=(MF'+MF)(MF'-MF)=2a(MF'-MF)\)
On en déduit que
\(MF'-MF=\frac{2cx}{a}\)
(2 points)
Comme \(MF'+MF=2a\), on obtient
\(\displaystyle{MF=a-\frac{cx}{a}}=r\)
(1 point)
On a aussi \(x = c + r \cos\varphi\) : en éliminant \(x\), on obtient :
\(r=a-\frac{c^2}{a}-\left(\frac{cr}{a}\right)\cos\varphi\)
(2 points)
puis, en ordonnant \(r\) ,
\(r (1+\frac{c}{a}\cos\varphi)=\frac{(a^2-c^2)}{a}=\frac{b^2}{a}\)
(1 point)
et finalement :\(r(1+e \cos \varphi)=p\), en posant
\(\displaystyle{\frac{b^2}{a}=p}\) et \(\displaystyle{\frac{c}{a}=e}\)
(1 point)