Repérage sur une courbe
Durée : 5 mn
Note maximale : 5
Question
Un pendule est constitué d'une masse ponctuelle \(M\) reliée à un point fixe par un fil de longueur a constante.
Lorsque la masse est soumise à l'action de la pesanteur, le point \(M\) peut, sous certaines conditions, osciller dans un plan vertical.
Précisez à quelle courbe appartient la trajectoire.
On choisit le point de suspension comme origine \(O\) du plan d'oscillation \(xOz\) et on appelle l'angle que la direction \(OM\) forme avec la verticale descendante \(Oz\).
Précisez l'orientation de l'axe \(Oy\) du repère direct \((O : x, y, z)\) et le sens positif sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(a\).
Quelle est la valeur algébrique de l'abscisse curviligne \(s\) de \(M\) mesurée à partir du point \(A\) de la trajectoire situé sur l'axe \(Oz\) ?
Solution
Sous réserve que le fil soit soumis à une certaine tension, le point \(M\) est toujours situé à la distance \(a\) de \(O\) : la trajectoire est donc un arc du cercle \((O, a)\).
(1 point)
L'axe \(Oy\) est perpendiculaire au plan d'oscillation \(xOz\) et est dirigé vers l'avant de la fenêtre.
(1 point)
Le sens positif sur le cercle \((O,a)\) est celui suivant lequel on amène \(Oz\) sur \(Ox\) par une rotation de \(\pi/2\) autour de \(Oy\).
(1 point)
On a, en valeur algébrique, \(s = AM = a\varphi\) ( positif dans le cas de la figure).
(1 point)
Dans ces conditions, \(s\) a le même signe que \(x=\vec{OM}.\vec{u_x}\), composante de \(\vec{OM}\) sur l'axe \(Ox\), et que \(\varphi\).
(1 point)