Mouvement circulaire uniforme : hodographe

Durée : 10 mn

Note maximale : 5

Question

Par rapport à un référentiel terrestre, la Lune (assimilée à un point matériel) décrit une trajectoire circulaire d'un mouvement uniforme.Pour construire l'hodographe du mouvement, on procède en général de la manière suivante :

- en un point \(H\), arbitrairement choisi comme origine, d'un espace à trois dimensions représentatif des vitesses, on construit les vecteurs "équipollents" aux vecteurs vitesses \(\vec{v}\) pour tout point \(M\) de la trajectoire.

- la courbe sur laquelle se trouvent les extrémités de ces vecteurs s'appelle l'hodographe du mouvement.

Construisez l'hodographe du mouvement de la lune.

Décrivez le mouvement de l'extrémité du vecteur vitesse sur l'hodographe.

Solution

Soient \(M\) et \(M'\) les positions de la Lune à deux instants successifs. Les vecteurs vitesses \(\vec{V}=\vec{v}(M)\) et \(\vec{V'}=\vec{v}(M')\) sont tangents à la trajectoire circulaire aux points \(M\) et \(M'\) et leurs normes sont égales. (Fig 1)

(2 points)

A partir du point \(H\) pris comme origine, les extrémités des vecteurs vitesse se trouvent sur un cercle de l'espace des vitesses dont le rayon est égal à leur norme commune. (Fig 2)

(1 point)

\(\vec{CM}\) étant perpendiculaire à \(\vec{V}\), \(\vec{CM'}\) à \(\vec{V'}\), l'angle \(\alpha\) entre \(\vec{V}\) et \(\vec{V'}\) est égal à \((\vec{CM},\vec{CM'})\).

(1 point)

Donc \(\vec{v}\) tourne autour de \(H\) avec une vitesse angulaire

\(\displaystyle{\Omega=\frac{d\alpha}{dt}}\)

égale à celle de \(M\) autour de \(C\).

(1 point)