Origine aux foyers

Posons :

\(\overline{\mathrm{FA}}=\mathrm x~\) et \(~\overline{\mathrm{F'A'}}=\mathrm{x'}\)

Les triangles semblables :

  • FAB et FHJ d'une part,

  • F'H'I' et F'A'B' d'autre part permettent d'écrire :

\(\frac{\overline{\mathrm{HJ}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{\overline{\mathrm{A'B'}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{\overline{\mathrm{FH}}}{\overline{\mathrm{FA}}}=-\frac{\mathrm f}{\mathrm x}\)

\(\frac{\overline{\mathrm{A'B'}}}{\overline{\mathrm{H'I'}}}=\frac{\overline{\mathrm{A'B'}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{\overline{\mathrm{F'A'}}}{\overline{\mathrm{F'H'}}}=-\frac{\mathrm{x'}}{\mathrm{f'}}\)

soit :

\(\frac{\mathrm f}{\mathrm x}=\frac{\mathrm{x'}}{\mathrm{f'}}\)

d'où :

Formules de conjugaison de Newton :

\(\mathrm x.\mathrm{x'}=\mathrm f.\mathrm{f'}\)

\(\gamma=\frac{\overline{\mathrm{A'B'}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=-\frac{\mathrm f}{\mathrm x}=-\frac{\mathrm{x'}}{\mathrm{f'}}\)

DéfinitionGrandissement angulaire

On définit le grandissement angulaire par :

\(\mathrm G=\frac{\mathrm{u'}}{\mathrm u}=\frac{\mathrm n}{\mathrm{n'}}~\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{A'B'}}}\)

On constate que le produit du grandissement linéaire par le grandissement angulaire :

\(\gamma.\mathrm G=\frac{\mathrm n}{\mathrm{n'}}\)

est une constante.