Corde pincée

Enoncé

Une corde de longueur et de masse linéique est tendue entre points fixes et avec une tension . On se propose d'étudier les oscillations de cette corde à partir des conditions initiales suivantes :

la corde est pincée en et en     de sorte que :

les points et sont ensuite relâchés sans vitesse initiale, de sorte que :

Dans toute la suite, on posera et on admettra que la tension est assez grande pour pouvoir négliger le poids de la corde.

Remarque préliminaire :

La configuration initiale peut se représenter comme somme des 2 configurations initiales et .

Les amplitudes d'oscillations seront notées par la suite :

  • si la corde oscille à partir de l'état initial

  • si la corde oscille à partir de l'état initial

  • si la corde oscille à partir de l'état initial

1- Déterminer la relation entre et pour que l'on ait :

2- En utilisant la description de ces états vibratoires par superpositions des modes propres de la corde, montrer que :

3- Exprimer en fonction des coefficients de Fourier ainsi que en fonction des coefficients de Fourier .

4- Montrer que : .

5- En déduire deux relations entre et valables respectivement : l'une pour pair, l'autre pour impair.

6- Donner alors l'expression de en fonction des .

Préciser quelles valeurs de interviennent.

7- Tenant compte de la question , donner l'amplitude de la vibration à l'instant .

8- On rappelle que pour une corde de longueur pincée initialement à l'abscisse , l'amplitude de l'harmonique de pulsation est :

En déduire l'expression de .

Indiquer sur un tableau, pour les valeurs successives de intervenant dans :

les valeurs correspondantes de (en se limitant aux premières valeurs non nulles)

les valeurs correspondantes de . Indiquer sur ce même tableau, pour ces premiers harmoniques, le rapport de leurs amplitudes avec le fondamental. Dessiner approximativement, mais à la même échelle et en valeur algébrique, les trois premiers termes de .

9- La corde pincée initialement selon va-t-elle vibrer selon un mode propre ?

Quel autre système physique simple déformé initialement de cette même façon vibrerait ultérieurement selon un mode propre ?

Comparer la pulsation du mode propre ainsi obtenu pour ce dernier système à la pulsation du fondamental relatif à la corde pincée.

Conclure.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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