Corde ayant une extrémité libre

Enoncé

Une corde de longueur est disposée sur un plan horizontal .

Au repos, elle est tendue selon la direction et on notera la norme de la force de tension.

Cette corde effectue des oscillations transversales de faible amplitude. Dans ce mouvement, elle glisse sans frottement sur le plan horizontal.

L'extrémité de la corde reste fixe.

L'autre extrémité (en ) est fixée à un anneau (de masse négligeable) qui coulisse sans frottement sur une tige horizontale parallèle à .

On notera la fonction représentant la vibration de la corde et on admettra que la condition précédente se traduit par le fait que, lorsque la corde oscille selon un mode propre, la valeur de la dérivée en reste nulle à tout instant.

  1. Compte tenu des conditions aux limites imposées à ce système, quel est l'ensemble des valeurs permises pour . La valeur de dans le mode propre sera notée .

    En déduire l'expression des longueurs d'onde correspondantes.

    Indiquer les valeurs et pour le premier mode propre.

    En déduire la valeur de la pulsation du premier mode propre et celle du mode .

  2. En déduire l'expression la plus générale de la vibration dans ces conditions.

  3. Conditions initiales imposées au système :

    • la vitesse initiale de chaque point de la corde est nulle,

    • la forme initiale de la corde est représentée par un segment dont l'extrémité mobile (en ) a une amplitude initiale : .

    Exprimer dans ces conditions la forme de la vibration .

Légende :
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