Représentations en fréquence

1-

Le développement de la fonction \(F\) est pair

\(\Rightarrow\) la fonction \(F\) est paire

2-

\(A_0=\frac{1}{T_1}\int_{(T_1)}F(t)dt=\frac{a.t_1}{T}\)

3-

\(A_n=\frac{2}{T_1}\int_{(T_1)}F(t)\cos(n\omega_1t)dt=\int_{-t_{1/2}}^{+t_{1/2}}\cos(n\omega_1t)dt=\frac{2a}{T_1}\frac{2a}{T_1}\left[\frac{\sin n\omega_1t}{n\omega_1}\right]_{-t_{1/2}}^{+t_{1/2}}\)

\(A_n=\frac{2a}{T_1}\frac{1}{n\omega_1}\left[\sin(n\omega_1\frac{t_1}{2})-\sin(n\omega_1(-\frac{t_1}{2}))\right]=\frac{4a}{T_1n\omega_1}\sin(n\omega_1\frac{t_1}{2})\)

\(\omega_1T_1=2 \pi \Rightarrow n\omega_1\frac{t_1}{2}=\frac{n\omega_1T_1t_1}{T_12}=n\pi\frac{t_1}{T}\) et \(\frac{4a}{n\omega_1T_1}=\frac{2n}{n\pi}\)

\(\Rightarrow A_n=\frac{2a}{n\pi}\sin n\pi\frac{t_1}{T}\)

En posant \(u_n=n\pi\frac{t_1}{T}\Rightarrow A_n=\frac{2a}{n\pi}n . \pi . \frac{t_1}{T} . \frac{\sin u_n}{u_n}=\frac{2at_1}{T} . \frac{\sin u_n}{u_n}\)

Le coefficient \(\frac{2at_1}{T}\) ne dépend pas de \(n\Rightarrow A_n\) est proportionnel à \(\frac{\sin u_n}{u_n}\)

4-

\(A_n=2a\frac{t_1}{T}\frac{\sin n\pi\frac{t_1}{T}}{n\pi\frac{t_1}{T}}\)

\(\frac{t_1}{T}=\frac{1}{2}\Rightarrow A_n=a\frac{\sin\frac{n \pi}{2}}{\frac{n \pi}{2}}=\frac{2a}{n\pi}\sin n\frac{\pi}{2}\Rightarrow\) tous les termes pairs ont une amplitude nulle.

\(n\) impair \(\Rightarrow\) on pose \(n =2m+1 \Rightarrow A_{2m+1}=\frac{2a(-1)^m}{(2m+1)\pi}\)

\(\frac{t_1}{T}=\frac{1}{8}\Rightarrow A_n=\frac{a}{4}\frac{\sin\frac{n \pi}{8}}{\frac{n \pi}{8}}\Rightarrow\) tous les termes de rang \(n\) multiple de \(8\) ont une amplitude nulle.

\(A_1=\frac{a}{4}\frac{\sin\frac{\pi}{8}}{\frac{\pi}{8}}\)

Calcul :

\(\sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}\)

\(\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{2}{2}}} {2}} = \frac{1}{2} \simeq \mathrm{0,38268...}\)

\(\frac{A_n}{A_1}=\frac{\sin\frac{n\pi}{8}}{\frac{n\pi}{8}}\frac{\frac{\pi}{8}}{\sin\frac{\pi}{8}} \Rightarrow \frac{A_n}{A_1}\simeq(\textrm{1,026})\frac{\sin\frac{n\pi}{8}}{\frac{n\pi}{8}}\)

5-

\(f_n(\omega_n)=\frac{A_n}{\omega_1}=\frac{2at_1A_n}{\omega_1T}\frac{\sin u_n}{u_n}\) avec \(u_n=n\pi\frac{t_1}{T}=\frac{n \pi\omega_1t_1}{\omega_1T} \textrm{ avec }\omega_1T=2\pi\)

et \(n\omega_1=\omega_n\Rightarrow u_n=\omega_n\frac{t_1}{2}\)

\(f_n(\omega_n)=a\frac{t_1}{\pi}\frac{\sin u_n}{u_n}\)

\(\omega_1\rightarrow0\Rightarrow \omega_n=2\omega_1 \rightarrow\) variable continue \(\omega\)

\(u_n\rightarrow u\)

\(f_n(\omega_n)\rightarrow f(\omega)=\frac{at_1}{\pi}\frac{\sin u}{u}\) avec \(u=\omega\frac{t_1}{2}\)

ou \(f(\omega)=\frac{2a}{\pi\omega}\sin(\omega\frac{t_1}{2})\)

Schéma ci-dessus: enveloppe \(f(\omega)\) et spectre d'une fonction périodique carré dissymétrique, pour \(t_1 = T/8\), (l'harmonique de rang \(8\) a une amplitude nulle).

6-

\(g(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(t)e^{-i\omega t}dt\)

\(\Rightarrow g(\omega)=\frac{1}{2\pi}a\int_{-t_1/2}^{+t_1/2}e^{-i\omega t}dt=\frac{a}{2\pi}\left[\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\right]_{-t_1/2}^{+t_1/2}\)

\(=\frac{a}{\pi\omega}(\frac{1}{-2i})[e^{-i\omega t_1/2}-e^{+i\omega t_1/2}]=\frac{a}{\pi\omega}\sin(\omega\frac{t_1}{2})=g(\omega)\)

\(\omega \in[-\infty, +\infty]\)

En utilisant le résultat de la question précédente, on trouve donc \(g(\omega) = \frac{1}{2}f(\omega)\)

6-a- Commentaire

On vérifie que \(g(\omega)\) est la limite de \(\frac{C_n}{\omega_1}\) quand \(\omega_1\) tend vers \(0\) (alors que \(f(\omega)=\lim\frac{A_n}{\omega_1})\)

\(C_n=\frac{1}{T}\int_{(T_1)}F(t)e^{-in\omega_1t}dt\) (avec \(F_n=\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}C_ne^{in\omega_1t}}\))

\(=\frac{1}{T}a\int_{-t_1/2}^{+t_1/2}e^{-in\omega_1t}dt=\frac{a}{T}\left[\frac{e^{-in\omega_1t}}{-in\omega_1}\right]_{-t_1/2}^{+t_1/2}\)

\(=\frac{2a}{n\omega_1T}\frac{-e^{-in\omega_1t_1/2}+e^{+in\omega_1t_1/2}}{+2i}=\frac{2a}{2\pi n}\sin(n \omega_1\frac{t_1}{2})\)

\(\Rightarrow \frac{C_n}{\omega_1}=\frac{a}{\pi\omega_1}\sin(\omega_n \frac{t_1}{2})\rightarrow \frac{2a}{2\pi\omega_n}\sin(\omega_n\frac{t_1}{2})=g(\omega)\) (ce qui était prévu !)

Plus généralement, les termes sont nuls pour : \(\omega_n\frac{t_1}{2}=N\pi\) soit : \(\omega_n=N\frac{2\pi}{t_1}\)

Cas particulier : \(\tau=\frac{1}{8}\) (schéma précédent)

\(\Rightarrow \frac{A_n}{A_1}=\frac{\frac{\pi}{8}}{\sin\frac{\pi}{8}}\frac{\sin\frac{n\pi}{8}}{\frac{n \pi}{8}}\)

\(A_1=\frac{2a}{\pi}\sin\frac{\pi}{8}\simeq\textrm{0,3826...}\)

6-b- Dans le cas d'une fonction réelle

à partir du développement en exponentielles on peut retrouver un développement en cosinus.

\(F(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(\omega)e^{i\omega t}d\omega ~\) \(g(\omega)\) est paire

\(=\int_{-\infty}^{+0}g(\omega)e^{i\omega t}d\omega+\int_{-0}^{+\infty}g(\omega)e^{i\omega t}d\omega\)

Changement de variable \(\Omega=-\omega\) pour que \(\Omega\) soit \(>0\)

\(\Rightarrow F(t)=\int_{\Omega=+\infty}^{\Omega=0}g(\Omega)e^{i\Omega t}(-d\Omega)+\int_{\omega=0}^{\omega=\infty}g(\omega)e^{i\omega t}d\omega\)

\(g(\Omega)=g(\omega)\) car \(g\) est paire \(\Rightarrow F(t)=\int_0^{\infty}g(\omega) e^{ - i\omega t}d \omega~ \int_{0}^{+\infty} g(\omega) e^{i \omega t} d \omega\)

\(\Rightarrow F(t)=\int_0^{\infty}g(\omega)(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})d\omega=2\int_0^{\infty}g(\omega)\cos\omega t ~d\omega\)

\(F(t)\) est développable en série de \(\cos(\omega_nt)\Rightarrow\) par passage à la limite, on a une transformée de Fourier en \(\cos(\omega t)\)

\(\displaystyle{\lim_{(\omega_1\rightarrow0)} \frac{A_n}{\omega_1}=f(\omega)}\) avec pour spectre \(f(\omega)=2g(\omega)\) qui est bien la relation trouvée.

Remarque : cet exercice permet de montrer le passage à la limite (lorsque la période de la fonction créneau carré tend vers l'infini). On obtient alors un spectre continu qui s'exprime sur la base des \(\cos(\omega t)\).

Notez cependant qu'au delà de cet exercice, l'expression usuelle des transformées de Fourier se fait sur la base des \(\exp(i\omega t)\).