Calcul direct des coefficients de Fourier
Partie
Question
On considère la fonction \(F\) (de période \(T\)). On admet l'existence de son développement en série de Fourier :
\(F(t)=A_0+\displaystyle{\sum_{n=1}^{n=\infty}A_n\cos n\omega_1t+B_n\sin n\omega_1t}\)
i.e. on admet que cette série trigonométrique converge.
On admet aussi que si l'on multiplie chaque terme de cette série par un même facteur dont le module est inférieur à 1, la série obtenue est également convergente.
Si, par exemple, on multiplie chaque terme de cette série par le facteur \(\cos p.\omega_1t\) (où \(p\) est un entier quelconque) , la nouvelle série ainsi obtenue converge alors vers la fonction \(F(t). \cos p.\omega_1t\).
Exprimer l'intégrale de cette fonction : \(\int_{(T)}F(t) . \cos p\omega_1t . dt\) sur une période \(T\).
Montrer que, pour \(n\ne p\) : \(\begin{array}{l} \int_{(T)} \cos n\omega_1t . \cos p\omega_1t . dt=0 \\ \int_{(T)}\sin n\omega_1t . \cos p\omega_1t . dt=0 \end{array}\)
et que, pour \(n=p\) : \(\begin{array}{l} \int_{(T)}\cos^2p\omega_1t . dt=\int_{(T)} \sin^2p\omega_1t . dt=\frac{\pi}{\omega} \\ \int_{(T)}\sin n\omega_1t\cos p\omega_1t . dt=0 \end{array}\)
En déduire l'expression des coefficients de Fourier de la fonction \(F\).
Commenter la signification de ces intégrales en terme de produit scalaire (on remarquera que \(\frac{2\pi}{T\omega}=1\)).
Solution détaillée
\(\int_{(T)}F(t)\cos p\omega_1t . dt=A_0\int_{(T)}\cos p\omega_1t . dt+\sum A_n\int_{(T)}\cos n\omega_1t . \cos p\omega_1t . dt\)
permutation \(\sum\) et \(\int \Rightarrow 0, \forall p+\sum B_n\int_{(T)}\sin n\omega_1t . \cos p\omega_1t . dt\)
Cas 1 : \(n\ne p\)
\(2\sin n\omega_1t . \cos p\omega_1t=\sin(n+p)\omega_1t+\sin(n-p)\omega_1t \quad(1)\)
\(2\cos n\omega_1t . \cos p\omega_1t=\cos(n+p)\omega_1t+\cos(n-p)\omega_1t\quad (2)\)
\(\int_{(T)}\sin(n+p)\omega_1t .dt=-\frac{1}{(n+p)\omega_1} [\cos(n+p)\omega_1t]_{t_0}^{t_0+T}=0\)
\(\int_{(T)}\cos(n+p)\omega_1t . dt=+\frac{1}{(n+p)\omega_1} [\sin(n+p)\omega_1t]_{t_0}^{t_0+T}=0\)
(car \((n+p)\omega_1T=(n+p)2\pi\))
(\(n\ne p\)) \(\int_{(T)}\sin(n-p)\omega_1t . dt=-\frac{1}{(n+p)\omega_1} [\cos(n-p)\omega_1t]_{t_0}^{t_0+T}=0\)
\(\int_{(T)}\cos(n-p)\omega_1t . dt=+\frac{1}{(n-p)\omega_1} [\sin(n-p)\omega_1t]_{t_0}^{t_0+T}=0\)
(car \((n-p)\omega_1T=(n-p)2\pi\))
En partant dans (1) et (2)
\(\Rightarrow \int_{(T)}\cos(n\omega_1t)\cos(p\omega_1t)dt=0=\int_{(T)}\sin(n\omega_1t)\cos(p\omega_1t)dt\)
Cas 2 : \(n=p\)
\(2\int_{(T)}\cos^2(p\omega_1t)dt=\int_{(T)}(1+\cos2p\omega_1t)dt=\int_{(T)}dt+\underbrace{\int_{(T)}\cos^2p\omega_1tdt}_0\)
\(\Rightarrow \int_{(T)}\cos^2p\omega_1t . dt=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega_1}\equiv\frac{\pi}{\omega}\) de même (avec \(2\sin^2p\omega_1t=1-\cos^2p\omega_1t\))
\(\Rightarrow 2\int_{(T)}\sin^2 p\omega_1t. dt=\int_{(T)} dt - \int_{(T)} \cos^{2} p \omega_{1}t . dt = T\)
\(\Rightarrow \int_{(T)}\sin^2 p\omega_1t. dt= \frac{T}{2} = \frac{\pi}{\omega_{1}} \equiv \frac{\pi}{\omega}\)
\(2\int_{(T)}\sin p\omega_1t . \cos p\omega_1t . dt=\int_{(T)}\sin2p\omega_1t . dt=0\)
L'équation en 1. \(\Rightarrow \int_{(T)}F(t) . \cos p\omega_1t . dt=A_p\frac{\pi}{\omega_1} \Rightarrow A_p=\frac{\omega}{\pi}\int_{(T)}F(t) .\cos p\omega_1t . dt\)
On a de même : \(\int_{(T)}F(t) . \sin p\omega_1t=B_p\int_{(T)}\sin^2p\omega_1t . dt=B_p\frac{\pi}{\omega}\)
\(\Rightarrow B_p=\frac{\omega}{\pi} \int_{(T)}F(t) . \sin(p\omega_1t) . dt\)
Expression des coefficients de Fourier (identique à celle donnée, avec \(\frac{\omega}{\pi}\equiv\frac{2}{T})\)
produit scalaire \(\left\{\begin{array}{l} \frac{2}{\pi}\int_{(T)}\sin p\omega_1t . \cos p\omega_1t . dt=0 \Leftrightarrow \textrm{ Orthogonalit\'e} \\ \frac{2}{\pi}\int_{(T)}\sin p\omega_1t . \cos p\omega_1t . dt=1 \textrm{ Ex normalisation} \end{array}\right.\)