Analyse des réseaux linéaires

\(I_4 = 0,62 \textrm{ A} (\textrm{ de A vers B})\)

Méthode : Lois de Kirchoff

Il faut prendre pour squelette la branche de droite ou celle de gauche ; si on prend celle de gauche, les inconnues sont \(I_2\), courant débité par \(E_2\textrm{ et }I_4\), courant traversant \(R_4\).

L'intensité \(I_1\) dans le squelette est donnée par la loi des noeuds : \(I_1 = I_2 - I_4\)

Les sens indiqués sur la figure prennent en compte la relation numérique \(E_2 > E_1\).

La maille de gauche et la maille de droite sont indépendantes ; d'après la loi des mailles :

\(\displaystyle{R_4.I_4-(R_3+r_1).(I_2-I_4)-E_1=0}\)

\(\displaystyle{E_2-(r_2+R_5).I_2-R_4.I_4=0}\)

On obtient un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues :

\(\displaystyle{(R_4+R_3+r_1).I_4-(R_3+r_1).I_2=E_1\quad(1)}\)

\(\displaystyle{R_4.I_4+(r_2+R_5).I_2=E_2\quad(2)}\)

que l'on résout par la méthode de substitution :

\(\displaystyle{(2)\quad I_2=\frac{E_2-R_4.I_4}{r_2+R_5}}\) à reporter dans (1)

Ou la méthode de Kramer :

\(\displaystyle{\begin{array}{lll}I_4&=&\frac{\left|\begin{array}{ccc}E_1&-(R_3+r_1)\\E_2&r_2+R_5\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}R_4+R_3+r_1&-(R_3+r_1)\\R_4&r_2+R_5\end{array}\right|}\\\\&=&\frac{(r_2+R_5).E_1+(R_3+r_1).E_2}{(r_2+R_5)(r_1+R_3+R_4)+R_4.(r_1+R_3)}=0,62\textrm{ A}\end{array}}\)

\(\displaystyle{I_4 = 0,62 \textrm{ A (de A vers B)}}\)

Méthode : Théorème de superposition

Courant débité par \(E_1\) dans \(R_4\) :

On remplace le générateur {\(E_2, r_2\)} par \(r_2\). Le générateur {\(E_1, r_1\)} débite à travers \(R_3\) un courant d'intensité \(I_1\) qui se divise en\( I_{41}\) à travers \(R_4 \textrm{ et }I_2\) à travers \(R_5 \textrm{ et }r_2\).

L'ensemble \(R_4, R_5, r_2\) vu de \(A \textrm{ et }B\) a pour résistance équivalente :

\(\displaystyle{R_{AB}=\frac{1}{\frac{1}{R_4}+\frac{1}{r_2+R_5}}=\frac{20}{3}\;\Omega}\)

d'où \(\displaystyle{I_1=\frac{E_1}{r_1+R_3+R_{AB}}=0,48\textrm{ A}}\)

et \(\displaystyle{I_{41}=I_1.\frac{G_4}{G_{AB}}=0,32\textrm{ A}}\)

Courant débité par\( E_2\) dans \(R_4\) :

On remplace le générateur {\(E_1, r_1\)} par \(r_1\). Le générateur {\(E_2, r_2\)} débite à travers \(R_5\) un courant d'intensité \(I_2\) qui se divise en \(I_{42}\) à travers \(R_4 \textrm{ et }I_1\) à travers \(R_3 \textrm{ et }r_1\).

L'ensemble \(r_1, R_3, R_4 \textrm{ vu de A et B }\) a pour résistance équivalente :

\(\displaystyle{R_{AB}=\frac{1}{\frac{1}{R_4}+\frac{1}{r_1+R_3}}=5\;\Omega}\)

d'où \(\displaystyle{I_2=\frac{E_2}{r_2+R_5+R_{AB}}=0,6\textrm{ A}}\)

et \(\displaystyle{I_{42}=I_2.\frac{G_4}{G_{AB}}=0,3\textrm{ A}}\)

Pour l'ensemble des deux générateurs , le courant à travers \(R_4\) est donc :

\(\displaystyle{I_4=I_{41}+I_{42}}=0,62\textrm{ A de A vers B}\)

\(I_4 = 0,62 \textrm{ A (de A vers B)}\)

Méthode : Courants de maille de Maxwell

Il y a deux noeuds et trois branches, donc deux mailles indépendantes. On peut donc choisir indifféremment deux des trois mailles possibles (gauche, droite, extérieure). Pour que \(R_4\) soit traversée par un seul courant de maille, on peut choisir, par exemple, la maille de droite et la maille extérieure.

Soit I l'intensité du courant dans la maille extérieure

Ecrivons les équations aux mailles :

Maille de droite :\( E_2 - (r_2 + R_5)(I + I_4) - R_4.I_4 = 0\)

Maille extérieure : \(E_2 - (R_2 + R_5)(I + I_4) - (r_1 + R_3).I - E_1 = 0\)

En regroupant les termes, il vient :

\((r_2 + R_4 + R_5).I_4 + (r_2 + R_5).I = E_2\quad (1)\)

\((r_2 + R_5).I_4 + (r_1 + r_2 + R_3 + R_5).I = E_2 - E_1 \quad(2)\)

que l'on peut résoudre par substitution :

\(\displaystyle{I=\frac{E_2-(r_2+R_4+R_5).I_4}{r_2+R_5}}\)

à reporter dans (2), ou par la méthode de Kramer :

On peut simplifier le système d'équations en remplaçant (2) par (1) - (2) :

\(R_4.I_4 - (r_1 + R_3).I = E_1\)

\(I_4=\displaystyle{\frac{\left|\begin{array}{ccc}E_2&r_2+R_5\\E_1&-(r_1+R_3)\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}r_2+R_4+R_5&r_2+R_5\\R_4&-r_1+R_3\end{array}\right|}}=0,62\textrm{ A}\)

Méthode : Potentiels de noeud de Maxwell

Les sens des courants tiennent compte des valeurs numériques (\(E_2 > E_1\)).

\(\displaystyle{\begin{array}{lll}V_A-V_B&=&E_2-(r_2+R_5).I_2\\&=&R_4.I_4\\&=&E_1+(r_1+R_3).I_1\end{array}}\)

En posant \(V_B = 0\)

\(\displaystyle{\begin{array}{lll}I_2&=&\frac{E_2-V_A}{r_2+R_5}\\I_4&=&\frac{V_A}{R_4}\\I_1&=&\frac{V_A-E_1}{r_1+R_3}\end{array}}\)

Loi aux noeuds : \(I_2 = I_1 + I_4\)

\(\displaystyle{\frac{E_2-V_A}{r_2+R_5}=\frac{V_A-E_1}{r_1+R_3}+\frac{V_A}{R_4}}\)

\(\displaystyle{\begin{array}{lll}\frac{E_2}{r_2+R_5}+\frac{E_1}{r_1+R_3}&=&V_A(\frac{1}{r_2+R_5}+\frac{1}{r_2+R_3}+\frac{1}{R_4})\\&=&R_4.I_4(\frac{1}{r_2+R_5}+\frac{1}{r_2+R_3}+\frac{1}{R_4})\end{array}}\)

\(\displaystyle{\begin{array}{lll}I_4&=&\frac{\frac{E_2}{r_2+R_5}+\frac{E_1}{r_1+R_3}}{R_4(\frac{1}{r_2+R_5}+\frac{1}{r_2+R_3}+\frac{1}{R_4})}\\I_4&=&0,62\textrm{ A}\end{array}}\)

\(I_4 = 0,62 \textrm{ A (de A vers B)}\)

Méthode : Transformation de Thévenin

La f.é.m. E du générateur de Thévenin équivalent au réseau vu de \(A \textrm{ et }B\) est égale à la tension \(V_A - V_B\) à vide, donc en l'absence de \(R_4\) :

équivalent à :

Soit I l'intensité du courant circulant dans la maille

\(\displaystyle{\begin{array}{lll}V_A-V_B&=&E_2-(r_2+R_5).I\\&=&E_1+(r_1+R_3).I\end{array}}\)

\(\displaystyle{I=\frac{E_2-E_1}{r_1+R_3+r_2+R_5}=\frac{7}{30}\textrm{ A}}\)

\(\displaystyle{E=V_A-V_B=\frac{31}{3}\textrm{ V}}\)

La résistance interne de ce générateur de Thévenin est égale à la résistance de l'ensemble \(r_1, R_3, r_2, R_5 \textrm{ vu de A et B }\)

Cet ensemble comporte deux branches en parallèle, la branche de gauche contenant \(r_1 \textrm{ et }R_3,\) la branche de droite formée de \(r_2 \textrm{ et }R_5\).

\(\displaystyle{r=R_{AB}=\frac{1}{\frac{1}{r_1+R_3}+\frac{1}{r_2+R_5}}=\frac{20}{3}\;\Omega}\)

d'où : \(\displaystyle{I_4=\frac{E}{r+R_4}=0,62\textrm{ A}}\)

\(\displaystyle{I_4=0,62\textrm{ A(de A vers B)}}\)

Méthode : Transformation de Norton

Calcul du courant de court-circuit :

Le courant de court-circuit \(I_0\) est la somme des courants de maille\( I_1 \textrm{ et }I_2\), qui sont aussi les courants qui passeraient dans le court-circuit si le réseau était alimenté par \(E_1\), puis par \(E_2\) (rappel : la conductance d'un court-circuit est infinie).

A cause du court-circuit, \(V_B - V_A = 0\), donc dans la maille de gauche, la loi des mailles donne :

\(\displaystyle{E_1-(r_1+R_3)I_1=0\quad I_1=\frac{E_1}{r_1+R_3}}\)

de même à droite :

\(\displaystyle{E_2-(r_2+R_5)I_2=0\quad I_2=\frac{E_2}{r_2+R_5}}\)

D'où le courant de court-circuit du générateur de Norton équivalent au circuit de \(A \textrm{ vers }B\).

\(\displaystyle{I_0=I_1+I_2=\frac{E_1}{r_1+R_3}+\frac{E_2}{r_2+R_5}=1,55\textrm{ A}}\)

Calcul de la conductance interne vue de \(A \textrm{ et }B\)

L'ensemble \(r_1, R_3, r_2, R_5\) est équivalent à un dipôle unique de conductance \(G_{AB}\) telle que :

\(G_{AB} = \frac{1}{r_{1} + R_{3}} + \frac{1}{r_{2}+R_{5}} = \frac{3}{20} = 0,15 \textrm{ S }\) (loi d'association en parallèle)

Pour \(R_4\), tout se passe comme si le montage était :

D'où :

\(\displaystyle{I_4=I_0.\frac{G_4}{G_{AB}+G_4}=0,62\textrm{ A}}\)

\(\displaystyle{I_4=0,62\textrm{ A (de A vers B)}}\)

Théorème de superposition après transformation de Norton:

Générateur de courant équivalent à la branche gauche

Un court-circuit placé aux bornes de la branche serait parcouru par un courant :

\(\displaystyle{I_{01}=\frac{E_1}{r_1+R_3}=0,8\textrm{ A}}\)

La résistance de cette branche vue de \(A \textrm{ et }B\) est :

\(r'_1 = r_1 + R_3 = 10\;\Omega\)

soit :\( g'_1 = 0,1 \textrm{ S}\)

Générateur de courant équivalent à la branche droite.

Un court-circuit placé aux bornes de la branche serait parcouru par un courant :

\(\displaystyle{I_{02}=\frac{E_2}{r_2+R_5}=0,75\textrm{ A}}\)

La résistance de cette branche vue de \(A \textrm{ et }B\) est :

\(r'_2 = r_2 + R_5 = 20\;\Omega\)

Soit : \(g'_2 = 0,05 \textrm{ S}\)

L'association en parallèle est équivalente à un générateur ayant un courant de court-circuit \(I_0 = I_{01} + I_{02} = 1,55 \textrm{ A}\), de conductance \(g = g_1 + g_2 = 0,15\textrm{ S}\), qui débiterait donc dans \(R_4\) un courant :

\(\displaystyle{I_4=I_0.\frac{g_4}{g+g_4}=0,62\textrm{ A}}\)